实变函数第一章第讲ppt.pptVIP

第三节 可数集 １可数集的定义 ２ 可数集的性质（子集） 推论 可数个可数集的并仍为可数集的证明 例 全体有理数之集Q是可数集 3 可数集的性质（卡氏积） 例 平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A为可数集 证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯一决定,从而 对上例的说明 有关超越数的说明 1874年Cantor开始研究无限集的计数问题; 1873年C.埃尔米特证明了e是超越数; 1882年Lindemann证明了π是超越数; 1934年A.O.盖尔丰得证明了若α不是0和1的代数数，β是无理代数数,则αβ是超越数(此问题为Hilbert于1900年提出的23个问题中的第7问题)。 思考： * * 第一章 集合 注：A可数当且仅当 A可以写成无穷序列的形式{a1, a2, a3, …} 1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, … 例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3， …} 　　与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为 2）[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …} 假设这是一个无限集M 我们可以取出其中一个点a1 显然M\{a1}还是无限集 在M\{a1}中可以取出一点a2 显然M\{a1，a2}还是无限集 我们可以取出一个可数子集{a1,a2,a3,...} 任何无限集合均含有可数子集 （即可数集是无限集中具有最小势的的集合) 可数集的子集或为有限集或为可数集 可数集的性质（并集） 有限集与可数集的并仍为可数集 A={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …} 当集合有公共元素时， 不重复排。 假设A，B，C两两不交，则 A∪B={ b1, b2, b3 , … , bn ，a1, a2, a3, …} 可数个可数集的并仍为可数集 有限个可数集的并仍为可数集 C= {c1, c2, c3, c4, c5, c6, …} B={b1, b2, b3, … ,bn} A∪C={ c1, a1, c2, a2, c3, a3, …} 当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列; 当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素； A1 A2 A3 A4 说明: 与Hilbert旅馆问题比较; 如何把无限集分解成无 限个无限集合的并? 首先[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}是可数集， [ ][ ][ ][ ][ ][ ] -2 -1 0 1 2 3 4 所以Q是可数集（可数个可数集的并） 说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上 的整数集有相同多的点(对等意义下). 有限个可数集的卡氏积是可数集 设A，B是可数集，则A×B也是可数集 从而A×B也是可数集（可数个可数集的并） 利用数学归纳法即得有限个乘积的情形 x固定，y在变 r (x,y) 例 有限集与可数集的并仍为可数集 可数集并可数集仍为可数集 A A\M M B 特殊情形： [0,1] ~ (0,1) R ~ R-Q { 1/2 , 1/3 , ? , 1/5 ,…} { 0 , 1 , ? , 1/3 , 1/4 ,…} 整系数多项式方程的实根称为代数数； 不是代数数的实数成为超越数。 由代数基本定理知 任意整系数多项式 至多有有限个实根， 从而结论成立. 设 P 是整系数多项式全体所成之集,P(n)是n次整系数多项式全体 例 代数数全体是可数集 我们证明了代数数全体是可数集合， 通过后面可知道超越数全体是不可 数集，故超越数比代数数多得多 假设这是集合A 从中可以取出可数子集M 很容易将M一分为二M1,M2， 使得两个都是可数集 A\M M={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …} M1 ={a1, a3, a5, …} M2={a2, a4, a6, …} 取A*=(A\M)∪M1=A-M2即可 例 说明：由此我们可得任一无限集一定存在它的一个真子 集与它有相同多的元素个数 问:为什么 不直接令 A*=A\M ? * *