微积分第-章-习题课.pptVIP

测 验 题 测验题答案 4、间断点的定义 (1) 跳跃间断点 (2)可去间断点 5、间断点的分类 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 可去型 第一类间断点 跳跃型 0 y x 0 y x 0 y x 无穷型 振荡型 第二类间断点 0 y x 第二类间断点 6、闭区间的连续性 7、连续性的运算性质 定理 定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 定理2 8、初等函数的连续性 定理3 定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 9、闭区间上连续函数的性质 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值. 1. 理解函数的概念. 2. 了解基本初等函数的 特性（奇偶性、单调性、周期性和有界性）及其图形. 3. 理解复合函数的概念， 4. 理解极限的概念. 5. 掌握极限四则运算法则，复合运算法则. 了解反函数的概念. 二、教学要求 6. 了解两个极限存在准则, 7. 了解无穷小、无穷大, 8. 理解函数在一点连续的概念. 9. 了解间断点的概念,并会判定间断点的 10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续 会用等价无穷小求极限. 概念. 类型. 函数的性质. 以及无穷小的阶的 会用两个重要极 限求极限. 例1 解一： 二、典型例题 解二： 解法讨论 例2 解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则 例3 解 例4 解 原极限= 例5 解 即 即 得 例6 解 且为第一类 间断点. 跳跃 例7 解 原极限= 求 的间断点, x = –1为第一类可去间断点 x = 1为第二类无穷间断点 x = 0为第一类跳跃间断点 例8 解 并判别其类型. 是间断点, 是 的几阶无穷小? 解 因 故 例9 则 的 阶无穷小, 设其为 有无穷间断点 及可去间断点 为无穷间断点, 所以 为可去间断点, 极限存在 设函数 试确定常数a 及 b. 例10 解 例11 证 任取 设 所以, 对任意实数 x, y 满足关系式 内处处连续. 试证： 例12 证明 讨论: 由零点定理知, 综上, 设 在 上连续,且恒为正, 证明: 对任意的 必存在一点 使 令 则 当 时, 取 或 则有 当 时, 故由零点定理知, 即 证 使 第一章 函数与极限（习题课） 典型例题 教学要求 主要内容 （一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念 一、主要内容 函 数 的定义 反函数 隐函数 反函数与直接 函数之间关系 基本初等函数 复合函数 初等函数 函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性 双曲函数与 反双曲函数 1、函数的定义 函数的分类 函数 初等函数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数) 代数函数 超越函数 有理函数 无理函数 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数) (1) 单值性与多值性: 2、函数的性质 (2) 函数的奇偶性: 偶函数 奇函数 y x o (3) 函数的单调性: 设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上任意两点 及 ，当 时，恒有： (1) ,则称函数 在区间I上是单调增加的； 或(2) , 则称函数 在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 (4) 函数的有界性: 设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一 ,有 .且 f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. (5) 函数的周期性: o y x 3、反函数 4、隐函数 5、反函数与直接函数之间的关系 6、基本初等函数 1）幂函数 2）指数函数 3）对数函数 4）三角函数 5）反三角函数 7、复合函数 8、初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 9、双曲函数与反双曲函数 双曲函数常用公式 左右极限 两个重要 极限 求极限的常用方法 无穷小 的性质 极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 无穷小的比较 极限的性质 数列极限 函 数 极 限 等价无穷小 及其性质 唯一性