数学分析(第节换元积分法与分部积分法).pptVIP

第8章 不定积分 不定积分概念与基本积分公式 换元积分法与分部积分法 有理函数和可化为有理函数的不定积分 第8.2节 换元积分法与分部积分法 第一换元积分法（凑微分法） 第二换元积分法 分部积分法 一、第一换元积分法（凑微分法） 二、第二换元积分法 小结 三、分部积分法 (Integration by Parts) 小结 例2 求积分 解 若被积函数是幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 例3 求积分 解 （再次使用分部积分法） 例4 求积分 解 令 例5 求积分 解 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u . 例6 求积分 解 有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后解此方程求出积分。 返回 后页 前页 1. 问题的提出 解决方法 而 利用复合函数，设置中间变量. 令 我们知道 若 则 设 (且可微，根据复合函数微分法) 于是可得下述定理 在一般情况下： 注意 使用此公式的关键在于将被积表达式凑成 第一换元公式 定理1（第一换元积分法） 凑微分法 证 例1 求 解一 解二 解三 例2 求 解 常见的凑微分形式有 例3 求 解 例4 求 解 熟练以后就不需要进行 转化了 例5 求 解 例6 求 解 例7 求 解 正、余弦三角函数积分偶次幂降幂奇次幂拆开放在微分号后面 解 例8 求 例9 求 解 例10 求 解 利用三角学中的积化和差公式，得 解 类似地可推出 例11 求 练习 提示 第一换元法是通过变量替换 第二换元法则是通过变量替换 将 将 例13 求 解 令 考虑到被积函数中的根号是困难所在，故 第二换元公式 定理2（第二类换元积分法） 证 事实上， 例14 求下列不定积分 （利用适当的三角代换化为易求的积分） 解 由辅助三角形（如图） 求 解 求 解 令 例15 用倒代换或根式代换求不定积分 解 例16 求 令 解 当分母的阶分子的阶时, 可考虑试用倒代换 练习 提示 基本积分表 续 两类积分换元法： 凑微分 三角代换、根式代换、倒数代换 三角代换常有下列规律 可令 可令 可令 问题 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 分部积分公式 关键 处理两类不同类型函数的乘积的不定积分 例1 求积分 解 若 令 显然， 选择不当，积分更难进行. 令