数学物理方程-.pptVIP

数学物理方法 理学院 冯国峰 第2章 分离变量法 分离变量法的基本思想：把数学物理方程定解问题中未知的多元函数分解成若干个一元函数的乘积，从而把求解偏微分方程的定解问题转化为求解若干个常微分方程定解问题。 第2章 分离变量法 第1节 有界弦的自由振动 第2节 有限长杆上的热传导问题 第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题 第4节 非齐次方程的求解问题 第5节 非齐次边界条件的处理 第6节 固有值与固有函数 第2章 分离变量法 [例]求解下列问题 第2-1节 有界弦的自由振动 问题：研究一根长为l，两端（ ）固定的弦作微小振动的现象。给定初始位移和初始速度后，在无外力作用的情况下，求弦上任意一点处的位移，即求解下列定解问题 式中， 均为已知函数。 第2-1节 有界弦的自由振动 这个定解问题的特点是：泛定方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。如果能够找到泛定方程足够个数的特解，则可以利用它们的线性组合去求定解问题的解。 第2-1节 有界弦的自由振动 从物理学可知，乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每个单音在振动时形成的波形是正弦曲线，其振幅依赖于时间t，也就是说每个单音总可以表示成 的形式，这种形式的特点是：二元函数 是只含变量x的一元函数与只含变量t的一元函数的乘积，即它具有变量分离的形式。弦的振动也是波，它也应该具有上述的特点。 第2-1节 有界弦的自由振动 第2-1节 有界弦的自由振动 第2-1节 有界弦的自由振动 若对于的某些 值，常微分方程定解问题的非平凡解存在，则称这种 的取值为该问题的固有值（或特征值）；同时称相应的非平凡解为该问题的固有函数（或特征函数）。这样的问题通常叫做施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）问题（或固有值问题）。 第2-1节 有界弦的自由振动 （1）当 时，方程没有非平凡解。 （2）当 时，方程也没有非平凡解。 （3）当 时，方程有如下形式的通解： 第2-1节 有界弦的自由振动 称为固有值问题 的一系列固有值，相应的非零解 为对应的固有函数。 第2-1节 有界弦的自由振动 将固有值 代入方程 中，有 可得其通解为 第2-1节 有界弦的自由振动 这样，就得到泛定方程的满足齐次边界条件的下列变量分离的特解 式中， 是任意常数。 第2-1节 有界弦的自由振动 由于初始条件式中的 与 是任意给定的，一般情况下，任何一个特解都不会满足初始条件式。但由于泛定方程是线性齐次的，根据叠加原理，级数 仍是泛定方程的解，并且同时满足边界条件。 第2-1节 有界弦的自由振动 为了选取 ，使得上式也满足初始条件，在上式及其关于t的导数式中，令 ，由初始条件得 第2-1节 有界弦的自由振动 傅里叶级数（补充）： （1）设 是周期为 的周期函数，则 其中 第2-1节 有界弦的自由振动 傅里叶级数（补充）： （2）设 是周期为 的周期函数，则 其中 第2-1节 有界弦的自由振动 （3）当 为奇函数时， 为奇函数， 为偶函数。 正弦级数为 第2-1节 有界弦的自由振动 （4）当 为偶函数时， 为偶函数， 为奇函数。 余弦级数为 第2-1节 有界弦的自由振动 和 分别是函数 、 在区间 上的傅里叶正弦级数展开式的系数，即 第2-1节 有界弦的自由振动 取级数的一般项，并作如下变形： 式中， 最大振幅 相位 频率 第2-1节 有界弦的自由振动 表示这样一个振动波，在所考察的弦上各点以同样的频率作简谐振动，各点的初相相同，其振幅与点的位置有关，此振动波在任一时刻的波形都是一条正弦曲线。（初相与最大振幅由初始条件确定，频率与初值无关）。 第2-1节 有界弦的自由振动 这种振动波还有一个特点，即在