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§2-2 二维Laplace方程的定解问题 不含时间的问题：稳定场，如静电场 拉普拉斯方程——齐次 泊松方程——非齐次 特点：定解条件全是边界条件，没有初始条件 本节讨论齐次方程：拉普拉斯方程 边界条件不能都是齐次的 要有足够的齐次边界条件，以便分离变量 可以借助叠加原理，将边界条件化为所需要的形式 求解矩形域的拉普拉斯方程 使其满足边界条件 解： 令 代入式(2.2.1)，得 (2.2.1) (2.2.2) (2.2.3) (2.2.4) (2.2.5) 令 可得： 由边界条件(2.2.3) 得： (2.2.6) 本征值问题： (2.2.5) (2.2.6) （1）当 时，式(2.2.5)的通解为： 由式(2.2.6)有： 由此得： 即式(2.2.5)、(2.2.6)无非零解。 所以 (2.2.5) (2.2.6) （2）当 时，式(2.2.5)的通解为： 从而 由 可得： 故得 （常数） （3）当 时，式(2.2.5)的通解为： 从而 由 得： 由 得： 故有 即 综合 和 两种情况，可知： 本征值为： 本征函数为： 将 的值代入式(2.2.4)： 解得 故问题的一般解为： 由边界条件 得： 一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。 因此： 又由 得： 将 展开成Fourier余弦级数，并比较系数有： 由此得： 解得： 代入式(2.2.7)得问题的解为： 注意：采用分离变量法求解时，用齐次边界条件构成本征值问题，用非齐次边界条件定叠加系数。 求解圆形域的拉普拉斯方程 例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 是铅垂的．水平架设的输电线处在这个静电场中．输电线是导体圆柱．柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了．不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）． 解： 导线 建立如图所示坐标系，Z-轴沿导线。X轴平行 由于导线无限长，可将电场看作沿z 方向不变。只需要研究 x-y 平面的状态 ，平面问题。 真空静电势满足拉普拉斯方程： 边界条件从云、地、导线三方面考虑。 导线的表面是等势面，取其为电势零点 a为导线半径 云、地在无穷远处，静电场仍为 ， 由 有 由于X轴平行 ，有 所以 根据导线边界条件，本题应取平面极坐标， ，坐标原点在导线中心。 定解问题： 方程 定解条件 用分离变量法求解。 令 代入方程，得 两边除以u，乘以 得： 令： 得到： 自然周期边界条件： 得： 本征值问题： 微分方程的通解是: 不具周期性，所以舍去。 1） 2） 微分方程的通解是: B=0时具周期性。 微分方程的通解是: 3） 以 为周期，所以取 本征函数为： 本征值为： 将这个结果代入到关于R的方程： ——Euler方程 本征值问题： 得： Euler方程的一般形式： 变系数的线性微分方程，导数的阶数与系数的幂数相同。 通解为： 有： Euler方程可化为： 变回原来的变量 ，可得： 对Euler方程做变量变换： 解法：通过变换化为常系数线性微分方程 ——二阶常系数线性齐次 所以 叠加得到一般解： 由边界条件定常数。 当 时，有 由此得： 即： 以及： 即： 代入一般解： 得： 令 ，略去 和 项后，得： 再由边界条件 比较等式两边的系数，有： 于是得到导体周围的电势分布 代入 上式中间项为原来静电场的电势分布， 前面的一项与导体原来的带电量有关，如果导体不带电，则 ，这时圆柱周围的电势是 最后一项当 时可以忽略，它代表在导体附近对匀强电场的修正，是柱面感应电荷的影响。 注：1.边界条件决定坐标系 2. 自然边界条件 3. 欧拉方程求解 4.模型应用 A、B两点场强： 易击穿！场强大小与半径无关。 y轴上场强： 高压电容器极板必须刨得十分光滑！ 无初始条件的例子：长为l的理想传输线，一端接于电动势为 的交流电源，另一端短路，求解