数理方程课件6-.pptVIP

Laplace变换的性质 （1）线性性质 （2）延迟性质 其中 （3）位移性质 则 若 时， （4）相似性质 则 （5）微分性质 （6）积分性质 （7）卷积定理 其中，定义 § 6.4.2 Laplace变换法 例1 求解半无界弦的振动问题 解：对方程两边关于变量t作Laplace变换，并记： 则 代入初始条件，得： 再对边界条件关于变量t作Laplace变换，并记： 则有： 上述常微分方程的通解： 代入到边界条件中，得： 故： 由位移定理： 所以： 例2 求解长为l的均匀细杆的热传导问题 解：对方程和边界条件（关于变量t）进行Laplace变换并考虑到初始条件，则有： 其中方程的通解为： 由边界条件定 ，得： 由变换公式 知 又有 所以 从上面的例题可以看出，用Laplace变换法求解定解问题时，无论方程与边界条件是齐次与否，都是采用相同的步骤。Laplace变换同样可以用来求解无界区域内的问题。 例3 在传输线的一端输入电压信号 ，初始条件均为零，求解传输线上电压的变化 解：这是个半无界问题，定解条件如下： 将方程和边界条件施以关于t的Laplace变换，并考虑初始条件，得到： 其中方程的通解为： 常数 在实际问题中，一个很重要的情形 这时 其次，有自然条件 取 ，则： 再由边界条件得： 通过反演 ，由延迟定理得： 总结 积分变换方法不仅能求解无界问题，而且也能够用来求解有界问题，应用是相当广泛的。 求解的步骤 第一步，将方程和定解条件对指定变量进行积分变换；得到象空间的代数方程或常微分方程的边值问题或初值问题； 第二步，求解象空间的代数方程或常微分方程的初值或边值问题，得到象空间中的解； 第三步，对像空间中的解进行反演，得到原象空间中的解。 求积分变换的反演： （1）直接查表，常见函数的Fourier和Laplace等积分变换和反变换已有列表； （2）利用积分变换的性质，象上面的例题那样求出象函数的反演； （3）利用复变函数积分的性质和留数定理等知识，计算反演中的无穷积分； （4）数值反演，利用数值积分方法计算反演中的无穷积分，有时也能得到精确度很高的结果。 第六章 行波法与积分变换法 李莉 lili66@bupt.edu.cn 求解定解问题 分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示） 行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题 积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无界区域，但对有界区域也能应用 §6.1 一维波动方程的D’Alember(达朗贝尔)公式 就一维波动方程建立通解公式 一维波动方程： (6.1.1) 作如下的变换： (6.1.2) 利用复合函数微分法则有： (6.1.3) (6.1.4) (6.1.1) （6.1.1)化为： （6.1.5） 将式（6.1.5）对 积分，得： 再将此式对 积分，得： （6.1.6） 其中 都是任意二次连续可微函数。 (6.1.3) (6.1.4) （6.1.6） 式（6.1.6）就是方程（6.1.1）的通解。 在具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数 与 的具体形式。 为此，必须考虑定解条件。 下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。设弦的初始状态为已知。 （6.1.7） 将式（6.1.6）中的函数代入式（6.1.7）中，得： （6.1.8） （6.1.9） （6.1.8） （6.1.9） 式（6.1.9）两端对 积分一次，得： （6.1.10） 由式（6.1.8）与式（6.1.10）解出 把确定出来的 代回到式（6.1.6）中，即得到方程（6.1.1）在条件（6.1.7）下的解： （6.1.11） ——无限长弦自由振动的D’Alembert（达朗贝尔）公式。 （6.1.11） D’Alembert解的物理意义： 先讨论初始条件只有初始位移情况下D’Alembert解的物理意义。 此时式（6.1.11）给出 先看第二项，设当t=0时，观察者在x=c处看到的波形为： 若观察者以速度a沿x轴的正向运动，则t时刻在x=c+at处，他所看到的波形为： 由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。 所以 代表以速度a沿x轴的正向传播的波，称为正行波。而第一项 则代表以速度a沿x轴的负向传播的波，称为反行波。正行