最值凸性拐点.pptVIP

微积分--最值、凸性、拐点 　上　课 二、函数的最值 例1 六、小结 例8 确定下列函数曲线的凸性 作业： 完成 P143 21(2)(5) 28、29、30 34(4)(5)(6) 　下　课 * 手机 关了吗？ 极值点必要条件 求函数单调区间及极值的步骤: (1) 求函数f (x)的定义域； (2) 求驻点(即方程f ￠(x)＝0的根)及不可导点； 极值点充分条件 第一充分条件 第二充分条件 (3) 用上述点分定义域为若干区间，列表考察各区间f ￠(x)的符号，确定函数的单调区间及极值. 复 习 1.闭区间[a, b]上连续函数f (x)的最值 1)闭区间上连续函数必存在最大、最小值； 2)最值可能在区间内部、也可能在端点取得； 3)最值若在区间内部取得，必为极值。 求闭区间上连续函数的最值: 1）求驻点和不可导点; 2）求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,最大的那个就是最大值,最小的那个就是最小值; 由上可知：最值点 端点＋极值点 端点＋驻点＋不可导点 从而得： 解 计算 比较得 f (－1)＝－5 f (0)＝2 f (2)＝－14 f (3)＝11 最大值f (3)＝11, 最小值f (2)＝－14 特例 2)连续函数在(a, b)内只有一个极值，则 很多求最大值、最小值的实际问题，属于特例2)这种类型，并且其唯一极值往往在驻点处取得. a b a b 1) f (x)在闭区间[a, b]上单调增加(减少), 则 最值在端点取得. 此极值必为函数在[a, b]上的最值 (极大值则为最大值，极小值则为最小值) . 2.最值实际问题举例 (1)建立目标函数; (2)求最值; 几何问题或生活中实际问题 经济应用 成本最小化 利润最大化 库存控制 解题步骤： 若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最值(最大或最小) 例2 设直圆柱形罐头的容积为定值 V，问其高 h 与底半径 r 为何值时用料最少(即表面积S最小)? 解 得唯一驻点 由 知r0是S(r) 的极小值点， 从而是最小值点. 此时 故当 时，用料最少. 微积分--最值、凸性、拐点 例3　设某厂每日生产某种产品x单位的总成本为 (元)，问每日生产多少单位的产品，其平均成本最小？并求最小平均成本和相应的边际成本． 解 得唯一驻点x0＝10 由 知 x0＝10为极小值点,即最小值点. 即每日生产10个单位的产品时,平均成本最小,为 (x1＝－10舍) (元/单位); 此时边际成本为 (元/单位). 一般地, 如果平均成本 可导,则当 取得最小值时,必有： 即： 即,对一般的成本函数,都有最小平均成本等于其相应边际成本的结论. 微积分--最值、凸性、拐点 例4　已知某商品的需求函数为 ,总成本函数为 .若工厂有权自定价格,问每天生产多少个单位的产品时,利润最大,此时价格为多少? 解 得唯一驻点 由 知 为极大值点,即最大值点. 即每日生产350个单位的产品时, 利润最大, 此时价格为 个价格单位. 由 微积分--最值、凸性、拐点 例5 某厂生产的产品年销售量为100万件. 假设 (1)这些产品分成若干批生产, 每批需生产准备费1000元(与批量大小无关);(2)产品均匀销售(即产品的平均库存量为批量的一半),且每件产品库存一年需存费0.05元.试求使每年生产所需的生产准备费与库存费之和为最小的最佳批量(称为经济批量). 解 得唯一驻点 由 知 为最小值点. 由 设每年的生产准备费与库存费之和为C,批量为x,则 因此，最佳批量为20万件. 在类似于例5的库存控制问题中,建立函数关系时要抓住两点： 其一, 我们所讨论的往往都是理想化的情形, 即均匀销售――平均库存量＝批量÷2 ； 其二，批量×批次＝总量．倘若所要求的是最佳批次，将批次设为自变量x，抓住上述两个关系式，也不难列出相应函数关系式． 例6 某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月x元， 租出去的房子有 套， 每月总收入为 (唯一驻点) 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为 微积分--最值、凸性、拐点