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第三节行列式的性质与计算 重 点 记住行列式的性质 会使用行列式的性质计算行列式 掌握行列式的常用计算方法-----化为上三角行列式法 特殊形式的行列式算法记住，如各行元素之和是常数的行列式 一、行列式的性质 二、行列式的计算（重点） 步骤 化为上三角行列式时，尽量先使用行列式的性质将 化为1或者-1，然后使用行列式的性质将 下方的元素全化为0。 现将 化为1，然后使用行列式的性质将 下方的元素化为0 …… 化为上三角行列式，再直接套用已知结果。 练 习 二 总结 1、掌握行列式的性质 2、会使用性质求行列式—直接使用性质、化为上三角行列式 3、掌握特殊形式的行列式的求法---每行（列）的和是常数的行列式的解法 * * 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即 行列式 称为行列式 的转置行列式. 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 结论： 上（下）三角行列式的值都等于主对角线上所有元素的乘积。 性质2 交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。 例如 推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式, 即 说明 行列式的某一行(列)中所有元素若有公因子, 可以提到行列式符号的外面． 性质4　如果行列式有两行(列)的对应元素成比例, 则行列式的值等于零。 性质5　若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和. 则D等于下列两个行列式之和。 注意 ：其余行不变 例 证明 证 左式 性质6　把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。 例如 列 column 行 row =0 方法一：直接使用行列式的性质 0 4 3 2 0 -1 -1 1 0 4 4 7 0 0 -1 6 0 0 0 11 方法二：化为上三角行列式 0 -24 18 -19 0 16 -10 11 0 10 -5 5 0 0 6 -7 0 0 -2 3 想一想： 还有别的计算方法吗？ 0 -8 4 -6 0 16 -2 7 0 0 8 -10 0 0 -10 15 0 0 0 5/2 0 4 3 2 0 -1 -1 1 0 4 4 7 0 0 -1 6 0 0 0 11 练 习 一 答案： （1）、40； （2）、4。 说明： 当行列式的各列（行）之和是同一个常数时，可以将 各列的元素全部加到第一行（列）上，然后提取公因式 化简行列式。 【例2】计算 【解】 0 0 -2 4 0 0 -2 2 0 0 0 -2 =4 特殊结论