有理函数积分(改).pptVIP

微积分--有理函数积分 　上　课 作业： P172 5(2)(4)(5)(7) 　下 课 * 微积分--有理函数积分 凑微分法(第一换元) 第二换元 积分法 分部积分法 规律:被积函数仅含对数或反三角函数, 复习: 直接积分法 复合函数微分法 两类换元积分法 函数乘积微分法 分部积分法 直接用公式; 被积 函数为两类不同函数之积, u的选择: “三多选多”; “指多 选多”; “代对选对”; “代反选反”; “指弦任选”(积分重现). 例 假分式化为整式与真分式之和 真分式化为最简分式之和 今天专门探讨这类有理函数积分的一般方法. 两个多项式的商表示的函数. 5.5 有理函数的积分 一、有理函数的定义: 假定分子、分母无公因式 真分式： 假分式： 利用多项式除法, 假分式可化成整式与真分式之和. 例 (难点) 真分式—— 可化为部分分式之和 二、化真分式为部分分式之和 1. 部分分式 ——指如下四种“最简真分式”： 微积分--有理函数积分 (1)真分式的分母中有因式 ，则分解后为 2.真分式化为部分分式之和的一般规律： 特殊地： 分解后为 (2)分母中有因式 则分解后为 特殊地： 分解后为 实系数多项式均可唯一分解成一次因式和二次质因式之积 3. 部分分式的系数确定 例1 比较系数法 赋值法 取x＝0 取x＝1 取x＝2,并将A、C值代入(1) 例2 例3 即 微积分--有理函数积分 三、有理函数的积分 一.有理函数定义 二.化真分式为 部分分式之和 2.将真分式分解成部分分式之和. 1.化假分式为整式和真分式之和. 3.逐项积分. 解 例4 求积分 （分解见前例2.） 例5 求积分 解 (分解见前例3) 微积分--有理函数积分 有理函数化为整式与部分分式之和后，只出现三类积分： 对积分(2)： (1) 多项式; ＋C 说明 微积分--有理函数积分 记作a2 讨论积分(3)： (1) n＝1 记作b 微积分--有理函数积分 a、b记号同前, 再令 (上节递推公式) (2) n 1 微积分--有理函数积分 例6 求积分 解 P159例13 (令x = tant)或：上节递推公式 结论 有理函数的原函数能用初等函数表示，且积分结果只含有有理分式、对数函数、反正切函数，不含其它类型的函数. 注 尽管被积函数只要连续就一定存在原函数; 初等函数在其定义区间连续. 但有的初等函数的原函数却不是初等函数, 如 等不能用初等函数表示. 通常我们说这些积分是“积不出来”的。 例7 求积分 解 令 微积分--有理函数积分 注 上述有理函数的积分方法中，确定待定系数比较麻烦，故应优先选择其它简便方法。例: P172:5(5) 微积分--有理函数积分 2.积分方法——万能代换 四、三角函数有理式的积分(补充) 1.三角函数有理式：由三角函数及常数经有限次四则运算得到的函数。可记为 微积分--有理函数积分 例 ——关于t 的有理函数的积分 注意：上面的方法对三角函数有理式的积分均可积出，但应优先考虑简便解法，如凑微分法 练习： * * * *