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例 设 ， 求 的主部及阶数 解 所以主部为 , 阶数为 3 所以主部为 , 阶数为 2 例 求常数 A 和 k , 使 时 , 解 由 得 所以 于是 所以 例 计算 解 例 计算 解 由复合函数极限法则有 令 则 当 时, 有 （习题(A)：4）. 于是有 定理 (单调有界准则) 若函数 f (x) 是( a , b )区间 内的单调有界函数 , 则极限 与 都存在. 证明： （略） 说明： 结论对无穷区间 或 也成立 定理 ( 单调数列收敛准则 ) (1) 如果单调增数列 { an } 有上界 , 即 则极限 存在 (2) 如果单调减数列 { an } 有下界 , 即 则极限 存在 说明: (1) 定理可简述为: 单调有界数列必有极限 (2) 定理指出极限 存在 , 但没有 指出 a 的具体值等于多少 利用单调有界准则及夹逼定理可以证明重要极限 先利用单调有界准则证明数列情形的重要极限: 解 设 , 则 比较 xn 与 xn+1 的对应项可知: 即 是单调增数列 . 利用上式可得 所以 是单调增有上界数列 , 根据收敛准则 知 收敛 , 记其极限值为 e , 于是有 再利用夹逼定理证明极限: 对任意的 x 0 , 总存在 正整数 n 使 且 时 ， ，由于 利用夹逼定理: 当 时 ，令 ，则有 根据极限性质证得 若令 则利用极限的变换定理可得重要 极限的另一表达形式： 例 计算 解 原极限 解 例 如果 计算 显然对一切 n ? N , an 0 下证: 对一切 n ? N , an 3 利用单调有界准则可以处理一些由递推式给出的 数列极限计算问题 当 n = 1 时 , 下设 , 则有 所以根据数学归纳法知 , 对一切 n ? N , an 3 单调增有上界 收 敛 设 在 两边取极限 , 知 a 满足 即 解得 a = 3 或者 a = -1 ( 不合题意舍去 ) , 所以 解 例 已知 计算 考虑单调性 假设 xn xn-1 , 由 xn 0 , 有 根据数学归纳法知 { xn } 单调增 . 又 单调增有上界 收 敛 设 在 两边取极限 , 有 解得 所以 例 设 a 0 , x1 0 , 定义 计算 解 因为 即对一切 n? N , 又 所以 单调减 , 据收敛准则知 收敛 , 设 取极限有 (负根舍去) 所以 80 无穷小的阶 当 时, 然而这些无穷小的比值的极限是不同的 究其原因：无穷小趋于零的速度是其变化的 关键因素 定义 设 都是同一趋限过程中的 无穷小 ,且 可见： 由 sinx 关于 x 是一阶的; 由 tanx 关于 x 是一阶的; 由 arcsinx 关于 x 是一阶的 作为基本无穷小 , 则当 时, 称 关于基本无穷小 是 k 阶的(无穷小) ,并称 为无穷小量 的主部 特别地,若过程是 的 , 把 由 关于 x 是二阶的; 又由 可知 ln(1+x) 关于 x 是一阶的 , 且 有 同样地由 可知 关于 x 是一阶的 , 且 有 综合以上结论可得以下常用的等价关系： 划分无穷小的主部可获得一些近似式 定理 若 则 反之，若 或者 则 证明： 由 再由 反之，若 或 则有 根据以