概率的几种定义(古典概型).pptVIP

由几何概率的计算公式得 A x y 0 T T t t 注意t与T的关系 32 蒲丰投针问题 桌面上画满间隔均为a的平行直线, 现向桌面任意投放一长为l(la) 的针, 求事件A=“针与直线相交”的概率 a a θ θ χ χ 0 A . (a) (b) 33 解:如图(a) 针的位置由针的中点到最近直线的距离x及针与直线所夹锐角 所决定。 于是样本空间 它是坐标平面中一个矩形。 由投针的任意性, 样本点（x, ）在S中均匀分 布， 是几何概型。 34 而针与某直线相交，当且仅当 即事件 图b画出了这一几何概型的图示，易见 故由几何概型的计算公式可得 35 蒙特卡罗方法 将上述投针试验重复n次, 则由概率的统计定义可知, 当n充分大时,A的频率m/n可作为概率P(A) 的近似值, 于是由上面结果可得: 至此可以通过大量重复投针试验,用上式计算出的近似值, 这个例子的重要性在于通过设计适当的随机试验而完成某种计算的 任务这就是著名的蒙特卡罗方法. 解出 36 三、 概率的统计定义 1、频率：设事件A在 次试验中出现了 次，则称 为 次试验中事件A出现的频率。 频率能反映事件A发生的可能性大小, 因此在大量重复试验中常用频率作为概率的近似值. 37 2、频率的稳定性，例如抛硬币(验证出现正面的概率占0.5，打字机键盘设计，信息编码(使用频率较高的字母用较短的码), 密码的破译。 38 3、概率的统计定义 如果随着试验次数 的增大，事件A发生的频率在区间 上某个数字p附近摆动，则称事件A发生的概率为p。 39 四、概率的公理化定义 由于古典定义，几何定义局限于等可能性，统计定义试验次数的不确定性，使用现代数学工具的不便性，限制了概率论的发展，这就必须给出更一般的，既能概括前三种定义，具有一般性，又能使用现代数学工具，这就产生了概率的公理化定义。 40 （一）公理化定义：设 是随机试 验， 是 的样本空间，对于 E的每一事件A，赋于一实数， 称为事件A的概率，记为 并规定 必须满足下列三条 公理： 41 1）非负性： 2）规范性： 3）可列可加性：若事件 两两互不相容即 则 42 （二） 基本 性质 1） 由公理3） 43 2） 有限可加性:若 两两互不相容， 即 则 令 由公理3）及1) 可得 有限可加性 44 3）对任何事件A有 45 证：由 而 故 4）若 ， 且 则 B A S 46 移项即得: 又 故 47 5）对任意两事件 与 有丶 证： 且 B A S 48 * 1.2 随机事件的概率 对于一个随机事件来说，在一次试验中可能发生，也可能不发生，我们希望有一个能刻划随机事件发生的可能性大小的数量指标，即概率，以 表示事件A的概率 。 1 一、概率的古典定义 定义2.1 满足以下两个特征的随 机试验称为古典概型。 （1）有限性：试验E的样本空间 中只有有限个样本点 如： （2）等可能性：每个基本事件出现 的可能 性相同，即： 2 古典概型的计算公式： 这种试验是概率论发展早期研究对象，称古典概型。 3 计算事件A的概率，关键在于弄清楚什么是样本点，样本空间中包含样本点的总数以及A所包含的样本点数，当样本点较多时，很难将它们一一列出，需用排列、组合的知识进行分析。 4 二 、排列组合公式 ① 从 个不同元素中取出 个元素 且考虑其顺 序称为排列，其排列总数为： 5 ② 从 个元素中取出 个元素，而不考虑其顺序，称为组合，其组合的总数为： 6 三、举 例 例1 有一号码锁上有6个拨盘，每个拨盘有 十个数字，给定一个6位数字暗码，只有拨对号码时，才能将锁打开。 问：“一次就能打开”的概率是多少？ 7 解：样本空间中样本点总数为 设 A=“一次就把锁打开” A所含样本点数 你能在2分钟内打开5位码的密码箱吗? 8 例2 袋中装有 个球，其中有 个白球和 个黑球，从中任取 个，问所取的球中恰含有 个白球和 个黑球的概率。 9 解：设 A事件的取法为： 而样本空间的基本事件总数为 ： 所以 A=“所取的球中恰含有 个白球 和 个黑球” 10 称此为超几何分布公式 此例可推广到 11 例3 将 只球随机地放入 个盒子中去，每球放