概率论与数理统计第,节.pptVIP

用随机变量表示事件 离散型随机变量 随机变量X取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 以确定的概率取这些不同的值 例子 连续型随机变量 可以取一个或多个区间中任何值 所有可能取值不可能逐个列出来 例子 2.1.2 随机变量的分布函数 设X为一随机变量,则对任意实数x，称 分布函数的基本性质： F(x)是一个增函数. 0 ≤ F(x) ≤1且 证明： 分布函数F(x)表示事件{X≤x}( 即X的取值落在区间(－∞,x]上 )的概率 。 对于任意实数 x1, x2 (x1 x2)，有 p{ x1X ≤ x2 }= p{ X ≤ x2 } － p{ X ≤ x1 } = F(x2) － F(x1) 。 已知X的分布函数，就能知道X落在任一区间(x1, x2]上概率，分布函数完整描述了随机变量的统计规律性。 通过分布函数，我们能更进一步利用高等数学方法研究随机变量。 求分布律举例 例2 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。 故 X的分布律为 例3 从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。 解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,… 则 Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！ 且 注 意 点 (1) 例7 已知 X 的分布律如下： 例8 已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布律. (1) pk ? 0, k＝1, 2, … ; (2) 分布律的性质 例1 设X的分布律为 求 P(0X≤2) P(0X≤2)=P（X=1）+P（X=2） =1/2+1/6=2/3 分布律确定概率 解 =P(抽得的两件全为次品) 解：X的可能取值为 0，1，2 =P(抽得的两件全为正品) P{X=1} P{X=2} =P(只有一件为次品) P{X=0} 而“至少抽得一件次品”={X≥1} = {X=1}?{X=2} P{X≥1}= P{X=1}+P{X=2} 注意：{X=1}与{X=2}是互不相容的！ 实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了 故 X的所有可能取值为 1，2，3，… ,k,… P(X=k)= (1-p)k-1p ,k=1,2,… ( X=k )对应着事件 设随机变量X的分布律为 试确定常数b. 解 由分布律的性质,有 例4 例5 袋中有1个白球和4个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布. 解 设X为取到白球时的取球次数 X的可能取值为 1, 2, 3, 4, 5 不难求得 因此,所求的概率分布为 1 2 3 4 5 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 则 的分布函数为 即， 当 时， 时， 当 当 时， 当 时， 2.2.2、离散型随机变量的分布函数 如图， 是一个阶 它在 有跳跃， 反之， 若一个随机变量 的分布函 则 一定是一个离散型随机变量， 其概率分布亦由 分布亦由 唯一确定. 梯函数， 跳跃度恰为随机变量 点处的概率 在 数， 数为阶梯函 当 时， 对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值. X 0 1 2 P 1/4 1/2 1/4 求 X 的分布函数. 解： X 0 1 2 P 0.4 0.4 0.2 解： 例9 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X的分布律. (信号灯的工作是相互独立的). P{X=3}=(1-p)3p 解 以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布律为： pk p 或写成 P{X= k} = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 0 1 2 3 4 (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 X P{X= 4} = (1-p)4 以p = 1/2代入得X的分布律： X pk 0 1 2 3 4 0.5