武昌杨家湾校区-高数-专升本Chapter-§ 极限.pptVIP

（四）利用导数定义求极限 【方法】详见第二章。 【历年试题】：【2002，22】；【2003，3】；【2007，2】；【2008，2】 （五）利用初等函数的连续性求极限 【方法】：详见本章第三节。 【历年试题】：【2002，8】；【2004，7】；【2005，11】；【2006，11】；【2009，1】；【2010，1】；【2012，11】 （六）求极限的反问题 【方法】：求极限 解方程。 【课本例题】：P35二、5. 【历年试题】：【2004，2】 高等数学（二） 第二节 极限 第一章 函数、极限与连续 2013.6.2/6.16 （一）数列的极限 1、数列 单调数列： 有界数列： 一、考点梳理 2、数列的极限 （1）定义 如果当n无限增大时, 数列{xn }无限地接近于常数a，则称a为数列{xn}的极限。 表示 n 很大时， xn 几乎都凝聚在点 a 的近旁。 （2）几何解释（不要求掌握） 有极限的数列称为收敛数列，反之称为发散数列。 ( ) a -? n N a +? a ? 定理2（有界性）收敛数列必有界； ( ? ? ( ) ) A B (二) 收敛数列的性质 定理1（唯一性）若数列{xn}收敛，则其极限值唯一； 0 ? ? a ( ) （三）极限存在准则 准则1.单调有界数列必有极限。 【注】有界是数列收敛的必要条件，单调有界是 数列收敛的充分条件。 ★（四）数列极限的运算法则 （五） 函数的极限 1、当 x→∞ 时函数的极限 (1)定义 对于函数 f (x)，如果当 x→∞ 时， f (x) 无限趋近于常数A，则称A为函数 f (x) 当 x →∞时的极限，记为： (3)定义 对于函数 f (x)，如果当 x→-∞ 时， f (x) 无限趋近于常数A，则称A为函数 f (x) 当 x →-∞时的极限，记为： (2)定义 对于函数 f (x)，如果当 x→+∞ 时，f (x) 无限趋近于常数A，则称A为函数 f (x) 当 x →+∞时的极限，记为： 无极限举例： ★2、 当 x→ x0 时函数的极限 (1)定义 对于函数 f (x)，如果当 x 无限地趋近于 x0 时，函数 f (x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f (x)当 x→ x0时的极限，记为： (3)定义 对于函数 f (x)，如果当 x 从x0右边无限地趋近于 x0 时，函数 f (x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f (x)当 x→ x0时的右极限，记为： (2)定义 对于函数 f (x)，如果当 x 从x0左边无限地趋近于 x0 时，函数 f (x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f (x)当 x→ x0时的左极限，记为： 【注】在讨论分段函数的分割点的极限时，一定要考虑左、右极限。 无极限举例： (六) 函数极限的性质 ★（七）函数极限运算法则 “0”是作为无穷小的唯一的常数。 ★(八) 无穷小(量)和(无穷大量) 1、无穷小(量) 定义：极限为零的数列和函数称为无穷小。 定义：绝对值无限增大的数列或函数称为无穷大。 2、无穷大 3、无穷小与无穷大的关系 定理2. 设 ? 为无穷小，u 有界，则 ?u 也是无穷小。 推论1. 常数乘以无穷小仍是无穷小。 推论2. 无穷小乘以无穷小仍是无穷小。 推论. 有限个无穷小的代数和仍为无穷小。 有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 定理1. 设 ? 和 ? 为无穷小，则 ? ? ? 也是无穷小。 4、无穷小(量)的基本性质 【注】两个无穷小的商实际反映了在变化过程中趋于零的速度快慢程度。为此引入以下定义： 【思考】两个无穷小的代数和、积仍为无穷小，那么两个无穷小的商会是什么呢？ ★2、无穷小的比较 3、无穷小的主部 ★4、等价无穷小的代换定理 ★当 x ? 0 时，常见的等价无穷小 ★★(九) 两个重要极限 重要极限3： 二、题型解析 题型一 求数列的极限 【方法】1、夹逼定理；（P23例1；P35二、2） 2、先求和再求极限；（P24例4-5） 3、对于求通项的极限，根据通项形式进行代数恒等变形，常用方法有拆分重组、有理化、对数恒等式等；（P24-25例3、9、10） 4、利用重要极限（第三个常用极限）；（P25例6-8）【2007，1】 5、定积分定义；（以后章节会讲到） 题型二 求函数的极限 ★（一）求未定式的极限 1、 ， 型未定式极限的求法 【方法】★（1）洛必达法则；（先“三处”）（P26-27例1，2，3，4，7；P28例1,2） ▲（2）利用等价无穷小量替换；（洛必达中的“高处”）（P35三、5） （3）用因式分解或根式有理化消去零因子；（P27例