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泰勒公式(-)

解得 所以 , 当 时, 函数 f (x)为 7 阶的 无穷小 例 设 f (x) 在 x = 0 处二阶可导 , 且 解 (3) 在近似计算中的应用 其中 ξ介于 x0 与 x 之间 . 例 计算 e 的值 , 准确到 10-6 解 先确定 n 为多大时才能保证精度 . 令 x =1 得 (ξ介于 0 与 1之间) n 阶泰勒公式 , 有 利用 ex 的 取 n =10 , 则有 (4) 在一些证明题中的应用 例 如果在 ( a , b ) 内 证明: 对 (a , b)内 的任意 n 个点 有不等式 证明 令 则对每一 xi , 利用泰勒公式有 由 推得 所以 ,得到 例 设 f (x) 在 [ 0 , 1 ] 上二阶可导 , 且满足 其中 a , b 为非负常数 , 证明: 对任意 c?( 0 , 1 ) 有 解 任取c?( 0 , 1 ) , 利用泰勒公式有 其中ξ介于 c 与 x 之间 . 分别令 x =0 , x =1 , 得 两式相减有 例 证明: 若函数 f (x) 在 [ 0 , 1 ]上存在二阶导数 , 且 f (0) = f (1) = 0 , 则存在 ξ? ( 0 , 1 ) , 使 证明 则 x0?( 0 , 1 ) , 据费马定理知 将函数在 x0 处展开有 其中ξ介于 x0 与 x 之间 令 x = 0 , 得 令 x = 1 , 得 综合以上结论知命题成立 §3.4 泰勒公式 在微分学中, 当 f (x) 在 x0 处可导时 , 我们导出了 并进行 “ 以直代曲 ” ,即用直线 (切线) 逼近曲线 存在问题: (1) 用切线 L(x)≈ 曲线 f (x) 比较粗糙 , 精度不高 ; (2) 逼近 的误差 o(x?x0) 是不明确的 , 即缺乏误差的明确表达式 本节研究以下两个问题: (1) 是否可选取一简单曲线 n 次代数多项式 即以简单曲线逼近复杂曲线 ? (2) 逼近的误差 是否可给 出 一个明确的表达式 ? 设 y = f (x) 在 x0 处有直至 n 阶的导数 , 下面 考虑寻找一 n 次代数多项式 Pn(x) , 使它在 x0 处 较好地逼近 f (x) 分析: 2、若有相同的切线 3、若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1、若在 点相交 一般地 , 自然地要求 Pn(x) 满足: (1) 满足 (1) 式的 Pn(x) 的确定: 设 则由 即 (2) 所以满足 (1) 的 n 次多项式为 (3) 而且满足 (1) 的 n 次多项式是唯一的 , 即 Pn(x) 被 条件 (1) 所唯一确定 形式为 (3) 的多项式 Pn(x) 称为函数 f (x) 关于 x ?x0 幂的 n 次泰勒多项式 说明: (1) n 次泰勒多项式 Pn(x) 是满足条件 (1) 的多 项式 , 而且是唯一的 (2) n 次泰勒多项式 Pn(x) 是把条件 (1) (1) 作为“ 较好逼近 f (x)” 的标准所确定的多项式 当然 , 人们也可提出其他的标准来确定多项式 例 求函数 y =ln(1+x) 的关于 x 幂的 n 次泰勒多项式 解 取 x0 = 0 , 下面计算 代入 (3) 中得函数 y =ln(1+x) 的关于 x 幂的 n 次 泰勒多项式为: 下面考虑 Pn(x) 与 f (x) 之间的误差: 令 则 (4) 式 (4) 称为 f (x) 关于 x ? x0 幂的 n 阶泰勒公式 , Rn(x) 称为此泰勒公式的余项 对余项 Rn(x) 给出不同的表达式 , 就得到带 不同余项的泰勒公式 下面的定理给出了带拉格朗日余项的泰勒公式 定理 ( 带拉格朗日型余项的泰勒公式 ) 设 f (x) 满足: (1) 在 [ x0 , x0+h ] 上 , f (x) 有直到 n 阶的连续导数 ; (2) 在 ( x0 , x0+h ) 内 , f (x) 有 n+1 阶导数 ; 则对任意 x?[ x0 , x0+h ] , 存在 ξ? (x0 , x) , 使 (5) 即 其中 ξ介于 x0 与 x 之间 (6) 式 (6) 称为 f (x) 的 关于 x ? x0 幂的带拉格朗日型 余项的 n 阶泰勒公式 说明: (1) 当 n = 0 时 , (6) 即为拉格朗日中值公式 (2) 当用 n 次泰勒多项式 逼近 f (x) 时 , (5) 给出了 明确的误差表达式 (3) 当 x0 = 0 时 , (6) 成为 (7) 其中 ξ介于 0 与 x 之

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