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* Convolution Correlation §2.卷积与相关 Convolution 卷积运算是一种十分常见，十分重要的物理过程的数学描述。（尤其在电路、光学的测量和实验中） 一．卷积 简单记为 1．卷积的定义 - c 0 d τ f1(τ) -a 0 b τ f2(τ) 与 卷积 首先，f2反演 - b 0 a τ f2(- τ) 然后，f2位移 0 τ f2(t - τ) t 再与 f1(τ) 相乘、对 τ 积分 0 t τ f2(t - τ) f1(τ) 得到 t 处的数值， 不同 t 处的数值描绘出卷积曲线。 例 0 t τ f2(t - τ) f1(τ) -(a+c) 0 b+d t f1(t) * f2(t) 最后结果 几个特定点可以定性判断：起点、落点、最大数值点 d - a ①一个单位冲击函数 作用于线性电路，使电路输出 y（t）= h（t） 例如，滤波器 则，h（t）为电路的冲击响应函数。 h(t) δ(t) y（t） t 0 t 0 2．卷积的物理意义 ②若，两个单位冲击函数陆续作用于该线性电路？ h(t) f (t) y（t） t 0 τ t 0 τ 讨论 t = 0 以后的电路响应（ y (t)），必须考虑 t = - τ 的输入信号的影响。 二者叠加！ ③连续信号 f（t）输入，（可以看成许多δ 陆续作用） 求：某瞬间 t，电路输出 y（t）。 应是 t 之前，各时段冲击的叠加； 假定 t 之前 n τ 时刻（n τ ，n τ +Δτ ）， 冲击为 f（t - n τ ） 产生效果 h（n τ ）f（t - n τ ） 作用了时间 Δτ t 以前的冲击累加起来产生 t 时刻效果 ④电路的冲击响应可看成单位冲击函数与电路冲击函数卷积 （还是冲击函数） 电路的一般响应可看成输入函数与冲击响应函数的卷积 h(t) f (t) y（t） 由此可见，卷积运算在分析物理过程中是十分常见 的重要运算。 如:RC充电电路 充电(阶跃)响应： 冲击响应函数 Vin Vout（t） 例 用卷积求电路充电响应： Vin Vout（t） 例 ①线性特性 交换律 即： 分配律 结合律 3．卷积的特性 ②卷积定理： 函数卷积的傅里叶变换等于函数傅里叶变换的乘积 可表述为 * 反过来 * 定量计算时注意系数 * 卷积定理证明如下： 数字信号数字滤波的运算。例如：数字信号（序列）输入数字滤波器。求 最后结果：yn = { 1, 1, 1/2, 1/4, 0} 4. 离散信号的卷积运算 * 相当于以δ为中心，将 f（t）曲线重新描绘一遍。 * 若两个δ函数与 f（t）同时卷积，则两个曲线可能出现交叉区域。 t 0 a a δ δ t 0 f (t) t 0 a a 5．δ函数卷积的意义 6．卷积定理的应用 离散序列信号的频谱是（频域）周期函数 此处是指对非周期信号进行周期采样以后形成的序列 设：对一个函数 f （t）进行周期性采样。 （应如何表述？） 取周期为Ts 的冲激序列函数 与 f ( t ) 相乘 即：离散序列函数