直角坐标系下平面图形的面积和旋转体的体积.pptVIP

练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。 例 5 求由下列给定曲线所围成的图形面积。 ◆旋转体的体积计算公式 ◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 ◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 ◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 再见！ 求面积例题 1 返回 面积例题 2 返回 * * * * * 平面图形的面积 旋转体的体积 ◆定积分的元素法 复习曲边梯形的面积计算方法（演示） 定积分的元素法分析（演示） 定积分的元素法（演示） 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素 f(x)dx 和积分区间[a ,b]。 一般地：若所量U与变量的变化取间[a , b]有关，且关于 [a , b]具有可加性，在[a , b]中的任意一个小区间[x , x+dx]上 找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式 这种方法叫做定积分的元素法。 dU=f(x)dx称 为所求量U的元素。 ◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示） 1、 由x=a ， x= b ,y=0 及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为 2、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及 y=g (x) 所围平面图形的面积为 3、 由y= c ， y= d ,x=0 及 x=φ (y) 所围平面图形的面积为 ◆平面图形的面积例题选举 例1 计算由 及 所围成的图形的面积。 例2 计算由曲线 和 所围成的图形的面积。 例3 计算由 和 所围成的图形的面积。 例4 求椭圆 的面积。 解 （1） （2） 轴 （3） （4） （5） 一般地：如右图中的阴影部分的面积为 （6） 或 1 2 法一：以 y 作积分变量 法二：以 x 作积分变量 （7） 星形线 解由图形的对称性可得 偶次方化倍角 即 如果平面曲线由极坐标给出，如右图： 由 所围成的图形称为曲边扇形。 其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即： 由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为 ◆极坐标系下的平面图形的面积（演示） （扇形面积近似替换） 例6 求双纽线 所围平面图形的面积。 例7 求心形线 所围平面图形的面积。 ◆极坐标系下的平面图形的面积计算例题 解 解 例 9 求由下列给定曲线所围成的图形公共部分的面积。 解 例8 求由曲线 所围成的图形面积。 解 旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 旋转一周所得的立体（演示）。 可选取适当坐标系，使旋转轴为 轴或 轴。 最基本的情形是曲边梯形绕 轴或 轴旋转的情形。 ◆旋转体的体积 示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。 a b y=f (x) d c x=g (y) 1、旋转轴为 x 轴（演示） 由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a b, f (x)0)所围成的曲边 梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c d, g (y)0)所围成的曲边 梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 2、旋转轴为 y 轴（演示） o x y P(h,r) ◆旋转体的体积计算公式 例 1 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。 x x+dx 解 如图所示 任取 ，形成区间 体积元素为 直线OP的方程为 所求体积为 ◆旋转体的体积例题选举 例2 求星形线 绕 轴旋转构成旋转 体的体积。 返回 例3 计算由曲线