空间向量的数量积运算(改).pptVIP

概念 * * 3.1.3空间向量的数量积运算 平面向量数量积的相关知识 复习： 平面向量的夹角： A O B A B 叫做向量 a与 b的夹角。 已知两个非零向量 a 和 b， 在平面上取一点O， 作OA= a,OB= b,则 平面向量的数量积的定义： 平面向量的数量积 已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos 叫做向量a, b的数量积，记作 即 并规定 0 你能类比平面向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律推导出空间向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律吗？ 1） 两个向量的夹角的定义 O A B 2）两个向量的数量积 注意： 　①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　②零向量与任意向量的数量积等于零。 3)空间向量的数量积特殊情况 注意： 　① 2）是证明两向量垂直的依据； 　② 3）是求向量的长度（模）的依据； 对于非零向量　　 ，有： 4)空间向量的数量积满足的运算律 思考 1.下列命题成立吗? ①若 ,则 ②若 ,则 ③ 应用 由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借助向量的数量积运算来解决. (1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便. (2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过求向量的模得到. 典型例题 例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！ 证明： 如图,已知: 求证： 在直线l上取向量 ,只要证 为 逆命题成立吗? 变式 设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足 则△BCD是 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 C 分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直. 例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . m n g 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理 m n g 解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在 上取非零向量 因m与n相交,故向量m ,n 不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使 例2:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . 例3 已知线段　　在平面　 内，线段　　　　 ，线段　　　　 ，线段　　　　，　　　　　 ，如 果　　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离。 解：由　　　，可知　　　　. 由　　　　 知　　　　　　 . *