第一章 化工优化问题及其基本理论-.pptVIP

1.4优化理论 在分析和求解优化问题的时候，连续函数同不连续函数相比，要方便得多。如果函数的导函数仍然是连续的，则有利于采用导数进行求解，问题变得更为容易 1.4.1基本概念 函数的连续性 1.4.1基本概念 函数的可微性 若函数f(x)在点x(0)处的导数存在，则称函数f(x)在点x(0)处是可微的 例1-1 指出下列函数在什么区间上是连续或可微的 1.4.1基本概念 最优解的概念 局部最优解： 设f(x)为定义在n维空间Rn上的某一领域N上的元实函数，其中x=(x1, x2, …, xn)T，则有：对于x* N,如果存在ε0,使所有与的距离小于ε的x N均满足不等式f(x)≥f(x*)或（f(x)f(x*)）,称x*为领域N上的局部（或严格局部）最优解（或极小点）。称f(x*)为领域N上的局部（或严格局部）最优值（或极小值） 1.4.1基本概念 全局最优解 x* N,而对于所有x* N都有f(x)≥f(x*)或（f(x)f(x*)）,则称x*为领域N上的全局（或严格全局）最优解（或极小点）。称f(x*)为领域N上的全局（或严格全局）最优值（或极小值） 1.4优化理论 在分析和求解优化问题的时候，连续函数同不连续函数相比，要方便得多。如果函数的导函数仍然是连续的，则有利于采用导数进行求解，问题变得更为容易 1.4.1基本概念 函数的连续性 凸函数的示意图 凸函数的判据 表4.1 f(x) 属性与H(X)状态的关系 海森矩阵 （ H(X)： Hessian matrix 或 Hessian）是由自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵 正定矩阵： A是n阶实矩阵，x是n维实的列向量。如果对任何非零的x，xT*A*x0，那么称A是正定矩阵 特征值： 设 A 是n阶实方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue) 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值。 这些根有可能相重复，也有可能是复数。 * * A：不连续（存在间断点） B：连续，在x2处导数不存在（非光滑联接） 例子 1.4.2 凸集与凸函数 1.凸集 （1）凸组合：已知 ， 任取k个点 ， 如果存在常数 ， ，使得 ，则称 为 的凸组合。 （2）凸集：设集合 ，如果 中任意两点的凸组合 仍然属于 ，则称 为凸集。 2.凸函数 设 ，任取 ，如果 ， 有 ，则称 为X上的（严格） 凸函数。 例子： 3. 凸函数的性质 定理. 凸函数的局部极小点就是全局极小点。 4. 凸函数的判断条件 定理1. 是凸集X上的凸函数的充要条件是 ，有 . 定理2.设 在凸集X上有二阶连续偏导数，则 是凸 函数的充要条件是 ，有 半正定。 ＜ 负定 严格凹函数 ≤ 半负定 凹函数 ≥ 半正定 凸函数 ＞ 正定 严格凸函数 H(X)的所有特征值 H(X) f(x)