第一章 概率论基础知识-.pptVIP

数理统计 我们身边的概率统计问题 §1 事件及其运算 1.随机试验 3.随机事件 （1）事件的发生 （2）特殊事件 ②事件的和 ③事件的积 ④事件的差 ⑤互不相容事件 ⑥对立事件 (2)事件的运算规律 例1 例2 从一批100件的产品中每次取出一个（取后不放 例1 例1 定理2（贝叶斯公式） 例： 例2 解 例1 已知 求 A,B,C 中至少有一个发生 的概率。 例2 证明 证 例3 ，求 解 A Ω B 设Ω是随机试验 E 的样本空间，如果Ω 满足以下两个条件： （1）有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个； （2）等可能性 每个基本事件的发生的可能性相同。 例如：E1：抛硬币,观察哪面朝上，= Ω={H,T} 则称随机试验E为等可能概型或古典概型。 E2：投一颗骰子，观察出现的点数 3. 等可能概型 = Ω={1，2，3，4，5，6} ◆若事件A包含k个基本事件，即 其中( 表示 中的k个不同的数) 将两封信随机的投入四个邮筒, 求: 1) 前两个邮筒中没有信的概率, 2) 第一个邮筒中只有一封信的概率. 解: 设 A = “前两个邮筒中没有信” B = “第一个邮筒中只有一封信” 1) 2) 例2 投两枚骰子，事件A=“点数之和为3”，求 答： 1/18 例3 投两枚骰子，点数之和为奇数的概率。 答： 1/2 例4(生日问题) 设每个人的生日在一年365天中的任一 天是等可能的,即均为 ,那么随机选取n(≤365)人。 (1) 他们的生日各不相同的概率为多少？ (2) 至少有两个人生日相同的概率为多少？ 解 (1) 设 A= “n个人的生日各不相同” (2) 设 B = “n个人中至少有两个人生日相同” 0.988 56 0.507 23 0.891 40 0.284 16 0.753 32 0.016 4 P(A) n P(A) n 引例: 取一副牌,随机的抽取一张,问: (1) 抽中的是K的概率; (2) 若已知抽中的是红桃,问抽中的是K的概率。 解： A ——抽中的是红桃, B ——抽中的是K (1) (2) 上述式子具有普遍性吗? 在古典概型中, Yes!! 4.条件概率 定义 设 A，B为两事件，且 则称 为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率。 例1 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？ 解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 依题意，P(A)=0.8, P(B)=0.4 所求概率为P(B|A). 由条件概率的定义： 即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 而 P(AB)=P(BA) 5.乘法公式 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 将A、B的位置对调，有 若P(A)0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3) 若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们 可计算两个事件A,B同时发生的概率 乘法公式应用举例 一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率. （波里亚罐子模型） b个白球, r个红球 于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ” b个白球, r个红球 随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球. 解 设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4 应用乘法公式 当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率. =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3) P(W1W2R3R4) 设一个班30名学生采用抓阄的办法分一张音乐会 入场券,问各人获得此票入场券的机会是否均等？ 解 设 “第 名学生抓到入场券” i=1,2,…,30 例2 同理，第i 个人要抓到此入场券，必须是他前面的 i-1个人都没抓到此入场券。 思考：如果是两张入场券呢？ 一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从其中任取 一个