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* 第一章 习题课 1. 全排列 把n个不同的元素排成一列, 叫做这n个元素的全排列(或排列). n个不同的元素的所有排列的种数用Pn表示, 且Pn=n!. 2. 逆序数 　　在一个排列( i1 i2 ··· is ··· it ··· in )中, 若数 isit , 则称这两个数组成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数． 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 3. 计算排列逆序数的方法 方法1: 分别计算出排在1,2, ···, n 前面比它大的数码的个数并求和, 即先分别算出 1,2, ···, n 这 n 个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数. 方法2: 依次计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 4. 对换 定义: 在排列中, 将任意两个元素对调, 其余元素不动, 这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调, 叫做相邻对换. 定理1: 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性. 推论: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 5. n 阶行列式的定义 或 6. n 阶行列式的性质 性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式. 推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式为零． 性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则该行列式等于两个行列式之和. 性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变. 7. 行列式按行(列)展开 在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n–1 阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即 记 Aij = (–1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式. (1) 8. 克拉默法则 定理1: (克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零, 那么, 线性方程组(1)有解, 且解是唯一的, 解可以表为 其中Dj 是把系数行列式D中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即 定理2: 如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一, 则它的系数行列式必为零. 定理3: 如果齐次线性方程组的系数行列式 D?0, 则齐次线性方程组没有非零解. 定理4: 如果齐次线性方程组有非零解, 则它的系数行列式 D 必为零. 在后面我们将证明: 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为它的系数行列式D必为零. 典　型　例　题 例1: 计算行列式 解: 例2: 计算 解: Dn中各行元素分别是同一个数的不同方幂, 方幂的次数自左至右按递升次序排列, 但不是从0到 n–1, 而是从1递升至 n. 若提出各行的公因子, 则方幂的次数便是从0升到 n–1, 于是得: 　　上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式的转置, 由范德蒙行列式知 　　评注: 本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂, 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同, 需要利用行列式的性质(如提取公因子, 调换各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式. 例3: 计算 解: 将第2, 3, ··· , n+1列都加到第1列, 得 提取第一列的公因子, 得 cj+1+(–aj)c1, j=2, 3 , ··· , n+1. 得 　　评注: 本题利用行列式的性质, 采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式. 化零时一般尽量选含有 1 的行(列)及含零较多的行(列); 若没有1, 则可适当选取便于化零的数, 或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为1; 若所给行列式中元素间具有某些特点, 则应充分利用这些特点, 应用