第一节函数的单调性与凸性.pptVIP

二、曲线的凸性 * 第四章 导数的应用 4.1 函数单调性 与凸性 一、单调性判别定理 1、定理：设函数 在 上连续， 在 上可导 （1）若 ，恒有 则 在 上单调增加； （2）若 ，恒有 则 在 上单调减少. 2、求函数的单调区间的方法步骤 ⑴、求导数 ⑵、解 及 不存在的点 ； ⑶、以 为分界点将定义域分成几个子区间， 分别判断函数 在各个区间的单调性. 例1：设 ，求单调 区间. 解： 函数定义域分为： 定义：函数 y=f(x) 在 [ a b ] 上连续，在（a b)内 可导。若曲线 y=f (x)总位于每一点切线的上方 则此段曲线弧为凹弧。若曲线 y= f(x) 总位于 每一点切线的下方，则称此段曲线弧为凸弧。 二、曲线的凸性 1、定义 设函数 在区间 可导： （1）若 在区间 上单调递增，则称 该曲线为向下凸（或凹）的； （2）若 在区间 上单调递减，则称 该曲线为上凸（或凸）的. 凸性的定义：曲线向上凸或向下凸的性质，统 称为曲线的凸性. 凸性区间：使函数 向上凸或向下凸的区间 注：上凸的曲线的切线都在曲线的下方，下凸的 曲线的切线都在曲线的上方. 2、凸性判别定理 定理：设函数 在闭区间 上连续，在 区间 内二阶可导，则对 （1）若 ，则 在 上是下凸 的（用符号“ ”表示） （2）若 ，则 在 上是上凸 的（用符号“⌒ ”表示） ⌒ 3、拐点 定义（拐点）：函数 在 的某一邻域连续， 且函数 在 点的左、右两 侧凸性正好相反，则称 为函数 的拐点. 4、求曲线的凸性区间及拐点的方法步骤 ①求导数 ②解 及 不存在的点 ④判别 在各子区间的符号，从而得到 曲线在该曲线的凸性； ③以 为分界点将定义域分为几个子区间； ⑤判别 是否是拐点. 例2：判断曲线 的凸性， 并找出拐点. 解： 曲线凸 曲线凹 例3：判断函数 的凸性，并找出 拐点. 解： 曲线凸 曲线凹 曲线凸 曲线凹