复变函数教案7.3.2.doc

第七章 共形映射 教学课题：第三节 黎曼存在定理 教学目的：1、充分理解黎曼存在定理极其重要意义； 2、充分了解边界对应定理； 3、了解线性变换的不动点； 4、掌握线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性。 教学重点：线性变换的保形性、保圆性、保交比性、保对称点性 教学难点：线性变换的保交比性、保对称点性 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：由于线性变换的保形性、保圆性、保交比性和保对称点性，它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中，起着重要的作用。 教学过程： 8、实例： 在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。 例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|1，Imz0保形映射成上半平面。 解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数 ， 把-1及+1分别映射成w平面上的0及两点，于是把|z|=1及Imz=0映射成w平面上在原点互相直交上面的两条直线。 由于分式线性函数中的系数是实数，所以z平面上的实轴映射成w平面上的实轴；又由于z=0映射成w=-1，半圆的直径AC映射成w平面上的负半实轴。 显然圆|z|=1映射成w平面上的虚轴；又由于z=i映射成，半圆ADC映射成w平面上的下半虚轴。 根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w平面上的的区域，应当在周界ABC的左方，因此它是第三象限。 最后作映射 ， 当w在第三象限中变化时，argw在及之间变化。因此w平面上的第三象限就映照成w平面上的上半平面。 因此，所求单叶函数为： 。 例2、求作一个单叶函数，把z平面上的带形保形映射成w平面上的单位圆|w|1。 解：函数 ， 把z平面上的已给带形保形映射成w平面上的上半平面。 取w平面上关于实轴的对称点-i及i，那么函数 , 把的w平面上的上半平面保形映射成w平面上的单位圆|w|1。 因此，我们得到 . 例3、求作一个单叶函数，把扩充z平面上单位圆的外部|z|1保形映射成扩充w平面上去掉割线而得的区域。 解：容易验证，分式线性函数 ， 把割线保形映射成w平面上的负实轴，把扩充w平面上已给区域保形映射成w平面上除去负实轴（包括0）而得的区域。 另一方面，分式线性函数 ， 把圆|z|=1保形映射成平面上的 虚轴。由于它把z=2映射成，可见它把扩充z平面上单位圆的外部|z|1保形映射成平面上的右半平面。显然 ， 把平面上的这一部分保形映射成w平面上除去负实轴而得的区域。 因此我们得到 由此可得函数 即为所求函数。 例4、求作一个单叶函数，把z平面上半带域保形映射成w平面上的上半平面，并且使得。 解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用指数函数做映射，我们求得函数 ，  把上述半带域映射成w平面上的半圆盘。 把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用例1中的映射，得到函数 ， 因此，我们得到把以给半带域保形映射成平面的上半平面的单叶函数，不过这时分别被映射成。作分式线性函数，把映射成： ， 最后得到所求的单叶函数： 。 例5、在z平面的上半平面上，沿虚轴作一长h为的割线。求作一个单叶函数，把上述半平面去掉割线而得的区域保形映射成w平面上的上半平面。 解：首先作映射，把割线去掉，使已给区域的全部边界都变到w平面的实轴上。为此，用在上述区域内的单叶解析函数 ， 把z平面的第一及第二象限分别映射成w平面的上半平面及下半平面。这时射线AD被映射成w平面上正实轴的上沿，DC被映射成从0到的线段的上沿，CB被映射成这条线段的下沿，BA被映射成正实轴的下沿，于是z平面上已给区域被保形影射成w平面除去射线而得的区域。 显然，函数 ， 把w平面的上述区域映射成平面上除去正实轴所得的区域；而函数 ， 又把这一区域映射成w平面上的上半平面，其中应理解为在正实轴的上沿取正值的一个解析分支。 结合以上讨论，我们得到所求的单叶函数是： 。