第三章：曲线凹凸性.pptVIP

机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 一、曲线的凹凸性与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的渐近线 曲线的凹凸性与拐点 第三章 函数作图 三、函数作图 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 一、曲线的凹凸性与拐点 如图所示曲线弧, 在区间(a, b)内虽然一直上升, 但却有不同的弯曲状况. 弧 是向上凹的, 曲线在切线的上方, 弧 是向上凸的, 曲线在切线的下方, 而B是弯曲状况的 分界点. 定义1 在区间(a,b)内, 连续曲线 如果曲线弧位于其任意一点切线 的上方, 则称曲线弧在(a,b)内是凹的(或凹弧), 此区间 (a,b)称为凹区间; 如果曲线弧位于其任意一点切线 的下方, 则称曲线弧 此区间 (a,b)称为凸区间; 在(a,b)内是凸的(或 凸弧), 定义2 y =f (x)上凹弧与凸弧的分界点, 称为曲线y =f (x)的拐点 . 定理2.(曲线凹凸性的判定定理) (1) 若在(a,b)内 则曲线y=f (x)在(a,b) 内是凹的 ; (2) 若在(a,b)内 设函数 在区间(a,b)内有二阶导数,那么 一阶导数判单调 二阶导数定凸凹 若 定理 设函数 则 在 (a,b)内单调递增 (递减) . 在开区间 (a,b) 内可导, 回顾前面所学 即 则曲线y=f (x)在(a,b) 内是凸的. 例1. 判定曲线 的凹凸性. 解: 故曲线 在 内是凸的. 例2. 判定曲线 在(0,2π)内的凹凸性. 解: 令 得 当 时， 曲线 是凸的； 当 时， 曲线 是凹的. 点 是曲线 的一个拐点. 例3. 判断曲线 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得求拐点的步骤如下: 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, 求拐点的步骤如下: (1) 确定函数y = f (x)的定义域; (2) 求出使 的点和 不存在的点; (3) 对于(2)中求出的每个点x0, 考察 在点x0左、右 两侧邻近的符号, 如果两侧的符号相反, 则点 是拐点; 如果两侧的符号相同, 则点 不是拐点. 例4. 求曲线 的凹、凸区间与拐点. 解 定义域： 不存在 因此,曲线的拐点 ： 凹区间: 凹 凸 令 得x =3, 不存在的点为x =2, 2 凸 3 0 －4 凹区间: 凸区间: 列表 内容小结 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上的凹凸分界点 . 1. 曲线 的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示: 及 作业 P128：第一题 ; ; 思考与练习 无渐近线 . 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 二、 曲线的渐近线 定义3 若曲线 y =f (x)上的动点M 沿着曲线无限远离坐标 原点时, 则称直线 L 为 曲线y = f (x)的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线 但抛物线 渐近线分为水平渐近线、铅直渐近线 和斜渐近线三种. 定义4 (1)若 则称直线y = b为曲线y = f (x)的一条水平渐近线. (2)若 则称直线 x = x0为曲线y = f (x)的一条铅直渐近线. (3)若 则称直线 y = ax +b为曲线y = f (x)的一条斜渐近线. 并由此可推得 例5. 求曲线 的渐近线 . 解: 为水平渐近线; 为铅直渐近线. 该曲线无斜渐近线. 例6. 求曲线 的渐近线 . 解: 所以该曲线有铅直渐近线 又因 为曲线的斜渐近线 . 所以该曲线没有水平渐近线. 一阶导数判单调 二阶导数定凸凹 三、函数作图 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 期性等特性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别单调及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 补充函数图形上的若干特殊点 为 0 和不存在的点 ; 并考察其奇偶性、周 找出f (x)的间断点, 6. 综合上述分析 , 描绘出函数的图形. (如与坐标轴的交点等); 例7. 作函数 的图形. 解: 1) 定义域为 函数无周期性, 2) 3)列表 (拐点） (极小) 4) 曲线无渐近线 为奇函数, 故只需作出区间[0,+∞)上的图形. 得 得 它的图形关于原点对称, 所以 6) 作图 5) 特殊点: 曲线与坐标轴的交点为 例8. 作函数 的图形. 解: 1) 定义域为 2) 又x =－3为f (x)的间断点. 定义域内无 不存在的点和