第二型曲面积分(北工大).pptVIP

一、第一型曲面积分 二、第二型曲面积分 三、奥高公式 四、斯托克斯公式 * * 观察以下曲面的侧 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 1.有向曲面 通常光滑曲面都有两侧. (假设曲面是光滑的) 有两侧的曲面. 规定 (1)双侧曲面 ２. 曲面的分类 法向量的方向来区分曲面的两侧. (2) 单侧曲面 莫比乌斯(Mobius)带. B、C 粘在一起形成的环 这在双侧曲面上是不能实现的. 它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下, 将A、D粘在一起， 行带. 小毛虫在莫比乌斯带上,不通过边界 可以爬到任何一点去. 设　　　　　所表示的曲面S是双侧曲面， 当以其法线正方向与z轴正向的夹角成锐角 的一侧（上侧）为正侧时，则另一侧（下侧） 为负侧． 的外侧为正侧，内侧为负侧． 3. 正负侧的取法 当S为封闭曲面时，通常规定曲面 设S是有向曲面. 假定 上各点处的法向量与z轴正向的夹角 在有向曲面 取一小块 ４.有向曲面在坐标面上的投影 取上侧 为正侧 1.实例 流向曲面一侧的流量. 二、第二型曲面积分 (2) 设稳定流动的流体的速度场由 给出, 都在S上连续, 求在单位时间内流向S指定侧流体的体积 分割 把曲面S分成 小块 （ 表示第 小块曲面的面积), S是速度场中的光滑双侧曲面,函数 (流量)。 取近似 法向量为 在 上任取一点 , 则该点流速为 求和 该点处曲面S的单位法向量 取极限 设函数f(x,y,z)在双侧光滑或者逐片光滑的曲面 块S上有定义，选定曲面S一侧为正，将曲面S 任意分成n个小曲面： 将此分法 表为T，用 表示第k个小曲面 的面积， 在xy平面投影的小区域的面积是 在第k个小曲面 上任取一点 ， 称为函数　　　　在曲面S关于xy的积分和。 令 2.定义 设函数　　　　在光滑或者逐片光滑 的曲面块S上有定义，若当 时，函数 　　　在曲面S关于xy的积分和存在极限 作和 则称 是f(x,y,z)dxdy在曲面S的第二型 面积微元. 其中dxdy是曲面微元 在xy上投影的 即 曲面积分，表为 如果S是闭曲面，则　　　　　　在S的第二 型曲面积分记为 类似地,设小曲面 在yz平面与zx平面 的投影小区域的面积分别是　　　与　　　 与　　　　　　　 第二型曲面积分为 则 在曲面的 3.存在条件 4.组合形式 5.物理意义（求流量，磁通量） 6.性质