第二章--函数的凹凸性与拐点.pptVIP

* §2.10 函数的凸性与曲线的拐点 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 一、函数凸性的定义 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 下凸 上凸 点间的弧段，总位于连接这两点的弦之上，则称 设f(x)在区间[a,b]上连续，若曲线 y=f(x)上的任意 两点间的弧段，总是位于连接这两点的弦之下，则称 函数 f(x)在(a,b)内为下凸；若曲线 y=f(x)上任意两 函数 f(x)在(a,b)内为上凸; 函数下凸或上凸的性质 统称为函数的凸性. 定义： 有时也用这两个不等式来定义函数上凸、下凸. 下凸 上凸 二、函数凸性的判定 例1 解 注意到: 三、曲线的拐点及其求法 1.定义 设 f(x)在点x0附近连续，若 f(x)在点x0 的左右两侧凸性相反，则称曲线上的点(x0, f(x0))为 曲线 y=f(x)的拐点. 注意: (1)拐点(x0, f(x0))在曲线上, 必满足曲线方程； (2)拐点(x0, f(x0))是两个坐标, 与 f(x)的极值点不同. 拐点 (x0, f(x0)) 2.拐点的求法 数 , 则点 是拐点的必要条件是 定理 2 如果 ) ( x f 在 内存在二阶导 注意: 例2 解 综上所述可归纳出求曲线 拐点的步骤： 例3 解 下凸 上凸 下凸 拐点 拐点 例4 解 解 函数的定义域为（-∞，+∞）. 下凸 非拐点 下凸 拐点 上凸 y + 不存在 + 0 - 0 x x y o 拐点 x y o 拐点 §2-11 函 数 作 图 一、渐近线 定义: . 一条渐近线 , 的距离 到某定直线 如果点 移向无穷远点时 L P ) ( , 的 就称为曲线 那么直线 趋向于零 x f y L = ) ( 沿着曲线 上的一动点 当曲线 P x f y = 1.铅直渐近线 例如 有铅直渐近线两条: 2.水平渐近线 例如 有水平渐近线两条: 3.斜渐近线 其中： 记住公式 * *