第五章第二型曲面积分.pptVIP

第三节 例5. 设 内容小结 性质: 2. 常用计算公式及方法 当 例5. 设 其中? 解: 用合一投影法 旋转抛物面 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算曲面积分 下侧. 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上侧。 计算 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 1. 两类曲面积分及其联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 联系: 思考: 的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ? 两类曲线积分的定义一个与 ? 的方向无关, 一个与 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 3.1 第二型曲面积分的概念与性质 3.3 第二型曲面积分的计算法 3.2 两类曲面积分的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二型曲面积分 第五章 3.1 第二型曲面积分概念与性质 1. 曲面的侧 双侧曲面：有上、下侧，前、后侧，左、右侧之分。 单侧曲面：无上下侧，前后侧，左右侧之分。也无内侧和外侧之分。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在光滑曲面 ∑上任取一点 M ，曲面在点 M 处的法线 有两个方向：当取定其中一个方向为正方向时，则 另一个就是负方向。例如 封闭曲面：内侧和外侧之分。 单侧曲面 莫比乌斯带 封闭曲面 (单侧曲面的典型) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分内侧和外侧 双侧曲面 曲面分上侧和下侧 曲面分左侧和右侧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z x y z x y z 曲面分前侧和后侧 其方向用法向量指向表示 : 方向余弦 0 为前侧 封闭曲面 0 为右侧 0 为上侧 外侧 侧向的规定 设单位法向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 为后侧 0 为左侧 0 为下侧 内侧 指定了侧向的曲面叫有向曲面。 引例 设不可压缩流体（假设密度为1）在空间中稳定 求单位时间流过光滑曲面 ? 的流量? . 若 ? 是指定了侧向平面，面积为S 则流量 平面?的法向量: 流速为常向量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 流体流向曲面一侧的流量问题 流动，流速为 从给定曲面∑的一侧流向另一侧，P,Q,R是连续函数， 流量等于斜柱体体积，等于直柱体体积 则用“分割, 替代, 求和, 取极限” 方法。 把曲面?分割成n个有向小曲面，小曲 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若流速为向量值函数: 面分别记为 当?为指定了侧向曲面时 , 每个小曲面的面积记为 （近似看做小平面） 当 很小时，任取一点 以速度 代替 上各点的速度，流体流过 的流量近似等于： 流量 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而单位时间内流过曲面 ?指定一侧的流量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 单位时间内流过曲面 ?指定一侧的流量 ? 设 ? 为有向曲面, 有向小曲面 在 oxy 面， oyz 面， ozx 面上的带有符号的投影分别 则规定 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义为 其绝对值定义为 面， ozx 面投影域的面积。 则 其投影的符号分别与 符号相同。 在 oxy 面， oyz 可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 流量又可表示为 于是定义二型曲面积分： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 面积记为 任取一点 设 2. 定义. 侧向的有向光滑曲面? 上的有界函数， 是取定了 n个有向小曲面 把曲面?分割成 带有符号的投影面积分别为 在 oyz 面， ozx 面，oxy 面上的 怎样选取，极限 如果无论对∑怎样 分割，也无论点 总是存在且相等，则称此极限值为向量值函数 其中P, Q, R 叫做被积函数; ? 叫做积分曲面. 又称为第二类曲面积分. 在有向曲面∑上的第二型曲面积分，记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为Q 在有向曲面?上对 z, x 的曲面积分; 称为R 在有向曲面?上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面?上对 y, z 的曲面积分; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 若 则 (2) 用－? 表示 与曲面?的侧向相反的侧向的曲面，则 机动 目录 上页 下页