微分方程模型在探求事物规律中的应用.doc

微分方程模型在探求事物规律中的应用 杨国华 （甘肃畜牧工程职业技术学院 武威 733006） 一、建立常微分方程模型的方法和步骤如下： 1、运用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型 主要利用各学科中已知的定理或定律来建立的.如力学中的牛顿第二运动定律，万有引力定律，傅里叶传热导定律，弹性形变中的虎克定律，拆里定律，阿基米德原理，放射性问题中的衰变率，生物学、经济学、人口问题中的增长率等． 2、利用导数的定义建立微分方程模型 在微积分中导数是一个重要概念，其定义为 如果函数是可微的，那么就可解释为相对于在该点的瞬时变化率.把导数解释为瞬时变化率在很多建模应用问题中都有用．如在生物学以及人口问题研究中出现的“速率”、“增长”；在放射问题中出现的“衰变”，在经济学中出现的“边际”等，这些词的出现就是一个信号，这个时候要注意哪些研究对象在变化，这些变化规律也许可以用在微分方程的表示当中．例如在考古学中，经常需要测定某种文物的绝对年龄，这时我们可以考察其中的放射性物质，由裂变规律可知，放射性物质的裂变速度与其存余量成正比．我们假设时刻时该放射性物质的存余量为，是的函数，则我们可以建立微分方程模型 其中是衰变系数，与放射性物质本身有关.求解该模型，我们解得：,其中是待定系数，它可以由初始条件确定.这样我们就可以测定这种文物的绝对年龄. 3、利用微元法建立微分方程模型 这种方法主要是通过寻求微元之间的关系式，直接对函数运用有关定律建立模型．一般的，如果某一实际问题中所求的变量符合下列条件： 是与一个自变量的变化区间有关的量，对于区间具有可加性，部分量．那么就可以考虑利用微元法来建立常微分方程模型，其步骤是：根据问题的具体情况，选取一个自变量，并确定其变化区间为，在区间中任意选取一个任意小的区间记作，求出相应于这个区间的部分量的近似值．将近似的表示为一个连续函数在处的值与的乘积，即，记，称为量的微元．等式两边同时积分就可以求出要求的量了．这种方法经常被应用于各种领域．例如在空间解析几何上可以用微元法求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积；代数方面求近似值以及流体混合问题；物理上求变力做功、压力、静力矩与重心． 4、模拟近似 对于规律或现象不是很清楚，且比较复杂的实际问题，常用模拟近似法来建立微分方程模型．这类模型一般要做一些合理假设，将要研究的问题突显出来，这个过程往往是近似的.用此法建立微分方程模型后，要分析其解的有关性质，在此基础上同实际情况对比，看所建立的模型是否符合实际，必要时要对假设或模型进行修改． 二、建立微分方程模型的一般准则在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的规律微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲线转化翻译：有许多表示导数的常用词，如速率、增长、衰变、边际、弹性等改变、变化、增加、减少这些词可能是一种暗示信号，只需弄清楚什么在变随什么而变，这时也许导数就用得上机理分析：将所研究的问题看成一个封闭和系统思考研究的问题是否遵循什么原理或物理定律，是应该用已知的定律还是去推导问题的合适结果在不知道问题的机理时，合理的想象和类比是很重要的平衡式：变化率输入率输出率能理解它，并且能使用正确的物理量，或许就得到了需要的微分方程微分方程模型：微分方程是在任何时刻必须正确的瞬时表达式如看到了表示导数的关键词，就要寻找与 的关系首先将注意力集中在文字形式的关系式然后准确填好式中的所有项单位：一旦确了哪些项应该列入微分方程中，就要确保一项都同样的物理单位，保证式子的平衡定解条件：系统在某一特定时刻的信息，独立于微分方程而成立利用它们来确定有关的常数，包括比例系数、原微分方程的其它参数以及解中的积分系数 三、微分方程模型示例 数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等．当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型． 建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来．下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型． 例1 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？ 解： 第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息．如果我们用表示总数，第一句话告诉我们 它的通解为