第四章 级数-.pptVIP

* 第四章 级数 本章主要讲述复数序列，常数项级数，复平面上的函数项级数，幂级数，罗朗级数。 为何学习这一章？ 原因： （1）自然规律——数理方程——积分方程，偏微分方程，微分积分方程。 解方程求解，往往比较复杂，如果将函数? 展开为级数，如 的形式 则微积分变得简单了，而边界条件往往限制了求和的项数，这样可直接得到解 当然也可取前几项做为方程的近似结果 这样复杂的函数的微积分变成了简单函数xn 的微积分了 （2）有些函数往往比较复杂，这有将其分解为简单函数的级数和，便于对其性质进行直观的研究。 * 4.1 收敛序列和收敛级数： 定义：复数项级数 每一项 wk=uk+ivk 复数项级数的收敛问题——两个实数项级数的收敛问题 4.1.1 收敛序列 若对任意给定的?0，总存在正整数N，当nN时， 成立 则称复数序列 收敛于复数Z，记为 也称z为zn在 时候的极限 否则称 是发散的。 第四章 级数 * 第四章 级数 4.1.2 收敛级数 称为级数和 复数项级数收敛的充要条件 【一】柯西收敛判据 对于任一给定的小正整数?0，必有N存在，使得当nN时， 式中p为任意正整数 则称此级数是收敛的，即 【二】绝对收敛 复数项级数各项的模组成的级数收敛 叫绝对收敛 原因： * 第四章 级数 【三】函数项级数 其余各项都是z的函数 如果在某个区域B上的所有点，级数都收敛 叫在区域B上收敛 表述： 如果N跟z无关，就把级数叫做在B上一致收敛 如 收敛 叫区域B上绝对一致收敛 B * 4.2 幂级数： 【概念】：如果级数各项都是幂级数，即 这样的级数叫做以z0为中心的幂级数 【收敛问题】 （1）达朗贝尔判别法 则 收敛 即（1）式绝对收敛 引入记号 就可说 如 则幂级数（1）绝对收敛 第四章 级数 * 第四章 级数 (2)收敛半径 由上式可知，以z0为圆心，R为半径做一个圆,则幂级数在圆内部绝对收敛，圆外发散,这个圆叫做幂级数的收敛圆，R就叫收敛半径 至于收敛圆上（R＝1）各点，幂级数是否收敛，需要根据具体情况判断。 （3）根式判别法 如 则（1）式绝对收敛 此时 结论：幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛 证明： R1是圆内任一点 R Z0 * 第四章 级数 【三】幂级数“和函数”的性质 定理：幂级数 的“和函数”f(z)在它的收敛圆内是解析的，且收敛圆内可以逐级求导，逐次积分 证明： 在收敛圆内任取一点? ，取一个以z0为圆心的圆， 半径为R1，稍小于R 用有界函数 遍乘上式，z为边界上的点 R1 Z0 ? R * 第四章 级数 这级数仍在CR1上一致收敛，可以沿CR1 逐项积分 应用柯西公式得到 即幂级数的和可以表示为连续函数的回路积分，按照柯西公式导数法则，必可以任意阶求导。 因为收敛圆的内部是单通区域，所以幂级数在收敛圆内可以逐项积分。 R1 Z0 ? R * 第四章 级数 4.3 泰勒级数 任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数，既然解析函数的任意阶导数都存在，自然可以期望把解析函数展开为复变项的泰勒级数 定理： 设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内任意z点，函数可以展开为幂级数 其中 CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆（目的是为了避开级数在CR上边界发散的问题） z0 z * 第四章 级数 证明： 根据柯西公式，对圆内任一点z，有 对上式利用导数形式的柯西公式，得到 z0 z * 第四章 级数 定理：若f(z)在 |z-z0|R内解析，那么它在该圆内的泰勒级数展开对以z0为中心是唯一的。 应用：在同一点展开的两个泰勒级数相等，则可以逐项比较系数 由此可见，泰勒级数跟解析函数有着不可分的联系 证明：假定有别的的展开方式 z0 z * 第四章 级数 例子： 求函数 以z0＝0为中心的展开式 可直接利用公式 由于 可以直接得到结果 注意：一个解析函数展开为级数形式，一定要注明成立的条件，即解析函数只有在此收敛圆内