第四章线性ARMA模型.pptVIP

第四章：平稳时间序列模型 学习目标 ● 简单滑动平均(MA)模型 ● 简单自回归(AR)模型 ● 混合自回归滑动平均(ARMA)模型 平稳时间序列 几个重要的平稳过程和模型 白噪声过程 MA过程 AR过程 ARMA过程 白噪声 1） ?t独立同分布称为独立白噪声， 记为{?t}~I.I.D(0, ?2) ■ 如果?t还服从正态分布，则该过程{?t}~称为为高斯白噪声。 白噪声 4.1线性时间序列 线性时间序列{Yt} : 如果它能表示成当前和过去白噪声序列的加权线性组合，即 因此， 权重与 的自相关系数有如下关系： 4.2 滑动平均模型4.2.1滑动平均模型介绍 当（4.1）仅仅有有限个 权重为非零时，我们称之为滑动 平均过程，即 MA(1) 另一种表达方式 本质是一个只包括常数项的回归模型，但残差存在自相关。容易知道MA(1)存在一阶自相关。 q-阶滑动平均模型和过程 判断下面是几阶MA模型 a) Yt=0.1+?t＋0.2 ?t－1 ＋0.1 ?t－2 b) Yt=0.1+?t＋0.3 ?t－1 ＋ 0.21 ?t－2 －0.1 ?t－3 c) Yt=0.1+?t＋0.3 ?t－4 4.2-2 MA模型的性质 MA(1)模型 MA(q)模型 自相关函数 MA(1)模型：为简单起见，假定 对两端乘以 ，我们有 MA(2)模型 自协方差函数 自相关系数是 MA(q)模型 自相关系数 MA过程 ACF图 练习题 P59. 4.19 P59. 4.20 P58. 4.4 P58. 4.1 P58. 4.2 5. 计算 的自相关函数。 作业 4.3 自回归模型 其中 {?t }是白噪声过程。 ， 表达式(4.3)是P-阶自回归模型 {rt }为p-阶自回归过程 ,表示为AR(p) 是未知参数或系数。 AR(1)过程 AR(1)模型的自相关函数 进一步有递推式： AR(1)参数 ?t=0.1+0.5?t-1 +?t ?t=0.1-0.5?t-1 +?t ?=0.1/(1-0.5)=0.2 ?= 0.1/(1+0.5) ?j=0.5j ?j =(-0.5)j AR(2)模型 与前面的差分方程对应的是二次(特征)多项式 时间序列文献中称这两个解的倒数为AR(2)模型的特征根 对应AR(1)模型: AR(p)模型 称之该AR(p)模型的特征方程。 AR(p)模型的平稳性条件：上述方程的所有解的模都大于1。 由于解的倒数为该模型的特征根。因此，平稳性要求所有 特征根的模都小于1。 * * * 2）弱白噪声随机过程满足 a）E(?t)=0 ， 对所有t b）E(?t2)=?2 对所有t c）E(?t?s)=0, 对任意t?s，或Cov(?t, ?s)=0 简称白噪声。记为{?t}~WN(0, ?2) 这里， 为白噪声. -时刻t的新信息(innovation) (4.1) 称为 的 权重 (4.1)有意义要求： 所以 必须是收敛序列，即当 时 通常，我们取 其中 则 从而有 (4.1.1) (4.1.1) 是平稳过程 的间隔为 的自协方差为 对于一般线性过程 类似地有 对 其中， 对若平稳序列而言， 当 时 从而随着 的增加 收敛到0 （4.2） 我们称(4.2)为 MA(q)模型或者q阶滑动平均模型. 其中?t 是白噪声过程. 这里，?和?i, i=1,2,…q称为参数或系数。 注：?q?0 滑动平均模型 1-阶滑动平均模型 其中?t 是白噪声过程. （4.2-1） ?和?为参数或系数。 表达式（4.2-1）是1－阶滑动平均模型， 用MA（1）表示 例如rt=0.1+?t＋0.3 ?t－1 当 时， 注意到 我们有 MA(1)模型在间隔为1以后的是截尾的 MA(2)模型在间隔为2以后的是截尾的 MA(q)模型在间隔为q步以后的是截尾的， MA(q)模型具有有限记忆性 基本结论 MA(q)过程的自相关函数q步截尾 1.证明 MA(q)过程自相关函数应满足的 关系式. 3. 4.12 (a) 2. P59 4.14 (4.3) 自回归模型是用自身做回归变量 （4.3-1） 因方差非负，要求 （4.3-1）定义的AR（1）模型是平稳的充分必要条件是 在平稳性条件下 注意到 与