第四节用根轨迹分析系统性能.pptVIP

第四节 控制系统的根轨迹分析法 * * 利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正 由给定参数确定闭环系统的零极点的位置； 分析系统的瞬态和稳态性能； 根据性能要求确定系统的参数； 对系统进行校正。 一、瞬态性能分析和开环系统参数的确定 利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。 以二阶系统为例：开环传递函数为 闭环传递函数为 共轭极点为： 在s平面上的分布如右图： 闭环极点的张角 为： 所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。 我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下： 若闭环极点落在下图中红线包围的区域中，有： 的关系如下图 上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例： [例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为： 若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 ，试确定开环放大系数。 [解]：首先画出根轨迹如右。根据计算知道：根轨迹与虚轴的交点为 ，这时的临界增益 当 时，闭环系统不稳定。 下面计算超调量和阻尼角的关系。由于： 当 时解得： 这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着 的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。 在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 的直线，与根轨迹交与A、B两点。 则A、B两点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量小于18%。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益 ，进而求得开环放大系数k。 设A点坐标为： ，则： （1） 相角条件为： （2） 由(1)，(2)式解得： 共轭主导极点为： 。 开环传递函数以 的形式表示时，k称为开环放大系数。 显然 的关系为： ，式中 不计为0极点。 所以，开环放大系数： 由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点为： 。该极点是共轭复极点实部的6倍多。 解得： 也可令 代入特征方程 实部方程 虚部方程 例：单位反馈系统的开环传递函数为 ⒈画出根轨迹 ⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？ ⒊能否通过选择Kg满足调节时间ts≤2秒的要求？ ⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？ 解：⒈画根轨迹 ①实轴无根轨迹 ②渐近线 s=-2.5，q=±45°, ±135° ③与虚轴交点w=±2，Kgp=100 ⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？ 当取阻尼角为45°的主导极点时， δ%≤5%的要求。 由根轨迹可见阻尼角为45°的线与根轨迹相交，可求得主导极点为s=－0.8+0.8j，另一对极点为s=－4.2+0.8j 相差5.25倍，满足主导极点的要求。 ⒊能否通过选择Kg满足调节时间ts≤2秒的要求？ ⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？ 要求ts≤2秒，即要求3/s≤2， s≥1.5。由根轨迹可知主导极点的实部≤1，所以不能通过选择Kg满足ts≤2秒的要求。 所以不能通过选择Kg满足Kp≥10的要求。 问题 ⒈增加开环零点改变根轨迹，因而改变闭环极点。那么是否改变闭环零点？ ⒉当两个系统的根轨迹相同并选择相同的闭环极点时，这两个系统的瞬态响应是否一样？ 二、利用根轨迹求解代数方程的根 例 求如下代数方程的根 解：为了将此题作为一个根轨迹问题来考虑，应将上式变换成根轨迹方程的形式。因式中无根轨迹增益，变换结果不唯一。 [特别提示]：开环零、极点对根轨迹形状的影响是值得注意的。 一般说，开环传递函数在s左半平面增加一个极点将使原根轨迹右移。从而降低系统的相对稳定性，增加系统的调整时间。 若在开环传递函数中增加一个零点，则原根轨迹向左移动。从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调整时间。 例4-13．已知系统开环传递函数为 （1）画出系统的根轨迹； （2）计算使系统稳定的k值范围； （3）计算系统对于斜坡输入的稳态误差。 [解]：（1）画根轨迹： ????求出射角： ，得 。 该系统有三条根轨迹，一条从原点