第章 线性系统的根轨迹法.pptVIP

第四章 根轨迹法 4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 常规根轨迹的绘制法则 4.3 参数根轨迹 根轨迹法概述 根 ———系统闭环特征方程的根或系统特征根(闭环极点)，即 根轨迹是一种图解法。 它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况，用作图方法简便地求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系。 它是控制系统设计的主要方法之一； 它能够确定闭环系统极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系； 它研究、分析系统参数的变化对系统特征根的影响。 4.1 根轨迹法的基本概念 由根轨迹可知： 1）当K=0时， s1 =0, s2 =-4，这两点恰是开环传递函数的极点，同时也是闭环传递函数的极点。 2）当0K 1 时， s1,2都是负实根，随着k的增长， s1从s平面的原点向左移， s2从-4点向右移。 3) 当K= 1时， s1,2 = -2，两根重合在一起，此时系统恰好处在临界阻尼状态。 4) 1 K∞， s1,2为共轭复根，它们的实部恒等于-2，虚部随着K的增大而增大，系统此时为欠阻尼状态。 『注』在s平面上，用箭头标明K增大时闭环特征根移动的方向，以数值表明某极点处的增益大小。 三、闭环零、极点与开环零、极点的关系 开环传递函数 闭环传递函数 将前向通道传递函数和反馈通道传递函数表示为 四、根轨迹方程 (1) 根轨迹方程 或 假设开环传递函数中有m个零点和n个极点 (2) 根轨迹方程两个条件：模值条件和相角条件 根据复变函数理论可知 模值条件 相角条件 4.2 常规根轨迹的绘制法则 一、常规根轨迹的绘制法则 根轨迹的分支数，对称性和连续性 根轨迹的分支数与开环有限零点m和有限极点n中的大者相同，他们是连续的并且对称于实轴。一般有n≥m，所以 分支数=开环极点个数=系统阶数=闭环极点个数 根轨迹的起点与终点 K*=0 时对应的根轨迹的点称根轨迹的起点； K*=∞时对应的根轨迹的点称根轨迹的终点。 根轨迹起于开环极点，终于开环零点。 若开环零点数m小于开环极点数n，则有n-m条根轨迹终于无穷远处。 根轨迹在实轴上的分布情况 实轴上某线段右边的开环零、极点总数为奇数时，则这段实轴为根轨迹上的点。即“奇是偶不是”。 根轨迹的渐近线 当开环极点数n大于开环零点数m，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴夹角为 和交点为 的一组渐进线趋向无穷远处。 『例2』求开环传递函数 的分离点 『问题』如何判断实轴上的分离点? 若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹，则这两极点之间至少存在一个分离点。 若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹（其中一个零点可以是无限大零点），则这两零点之间至少存在一个分离点。 根轨迹的起始角与终止角(针对有开环复数极点或开环复数零点情况) 起于开环复极点的根轨迹，在起点处的切线与正实轴的夹角 , 称为根轨迹的起始角。 终止于开环复零点的根轨迹，在终点处的切线与正实轴的夹角 , 称为根轨迹的终止角。 根轨迹与虚轴的交点（在虚轴上为临界稳定） 两种求法： 根轨迹方程1+G(s)=0，令s=jw代入根轨迹方程得 1+G(jw)=0 然后分别令1+G(jw)的实部和虚部都等于0，即可求得根轨迹与虚轴的交点，及系统临界稳定时的开环增益K。 使用第三章判稳的方法：如果根轨迹与虚轴有交点，则劳斯计算表中必出现全为零行，由辅助方程确定交点，进而求得开环增益K。 『例2』已知单位反馈系统的开环传递函数为: 试绘制K*从0到∞时系统的根轨迹。 『解』 （1）有4个开环极点，P1=0，P2=-3，P3=-1+j， P4=-1-j n=4；没有开环零点，m=0；有4个根轨迹分支。 （2）实轴上根轨迹为[0,-3]区间； （3）渐近线条数n-m=4条，4个根轨迹分支沿着渐近线都趋于无穷远处； 渐近线与实轴正方向的夹角 与实轴的交点 （4）分离点坐标 解得d=-2.3。 （5）起始角 由根轨迹的对称性可知 （6）根轨迹与虚轴的交点 令s=jw 代入，令实部和虚部都为0得 绘制根轨迹的法则 例 已知单位反馈系统的开环传递函数为  试根据系统的根轨迹，分析系统的稳定性和计算闭环主导极点具有阻尼比 时系统的动态