第章 集合.pptVIP

1.2 集合及其运算 集合及其表示法 包含(子集)与相等 空集与全集 集合运算(?,?, - , ~ , ?) 基本集合恒等式 包含与相等的证明方法 集合的概念 集合是数学中最基本的概念,没有严格的定义 理解成某些个体组成的整体, 常用A,B,C等表示 元素:集合中的个体 x?A(x属于A): x是A的元素 x?A(x不属于A): x不是A的元素 无穷集:元素个数无限的集合 有穷集(有限集):元素个数有限的集合. |A|:A中元素个数 k元集:k个元素的集合, k ? 0 集合的表示法 列举法 如 A={ a, b, c, d }, N={0,1,2,…} 描述法 用谓词P(x)表示x具有性质P，用 { x | P(x) } 表示具有性质P的全体元素组成的集合。 如N={ x | x是自然数 } 说明: (1) 集合中的元素各不相同. 如, {1,2,3}={1,1,2,3} (2) 集合中的元素没有次序. 如, {1,2,3}={3,1,2}={1,3,1,2,2} (3) 有时两种方法都适用, 可根据需要选用. B={ x | x是英文字母 }={a,b,…,y,z} 常用集合 自然数集N, 整数集Z, 正整数集Z+, 有理数集Q, 非零有理数集Q*, 实数集R, 非零实数集R*, 复数集C, 区间[a,b],(a,b)等 1.包含关系(子集) ? 定义：A、B是集合，如果A中元素都是B中元素，则称B包含A，A包含于B，也称A是B的子集。记作A?B。 文氏图表示如右下图。 集合间的关系 A B 性质： (1) 对任何集合A有A?A。 (2) 对任何集合A、B、C，有A?B且B?C ，则A?C。 (3) 对任何集合A、B，有A?B且 B?A ，则A=B。 集合间的关系 2. 相等关系(=) 定义：A、B是集合，如果它们的元素完全相同，则称A与B相等。记作A=B。 性质： ⑴对任何集合A，有A=A。 ⑵对任何集合A、B、C，如果有A=B且 B=C ，则A=C。 ⑶对任何集合A、B，如果有A=B，则B=A。 集合间的关系 3.真包含关系(真子集) ? 定义：A、B是集合，如果A?B且A≠B，则称B真包含A，A真包含于B，也称A是B的真子集。记作A?B。 性质： 有传递性，对任何集合A、B、C，如果有A?B且 B?C ，则A?C。 空集与全集 空集?: 不含任何元素的集合 例如, {x | x20且x?R}=? 定理1.1 空集是任何集合的子集 证 用归谬法. 假设不然, 则存在集合A, 使得? ? A, 即存在x, x??且x?A, 矛盾. 推论 空集是惟一的. 证 假设存在?1和?2，则?1??2 且?2??1，因此?1=?2 全集E:限定所讨论的集合都是E的子集. 相对性 幂集 幂集P(A):A的所有子集组成的集合, 即 P(A) = { x | x?A } 例如, 设A={a,b,c} A的0元子集: ? A的1元子集: {a}, {b}, {c} A的2元子集:{a,b},{a,c},{b,c} A的3元子集: {a,b,c} P(A) ={?, {a}, {b}, {c}, {a,b}. {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} 定理1.2 如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n 证 集合运算 并 A?B = { x | x?A 或者 x?B } 交 A?B = { x | x?A 并且 x?B } 相对补 A?B = { x | x?A 并且 x?B } 对称差 A?B = (A?B)?(B?A) = (A?B)?(A?B) 绝对补 ?A = E?A= { x | x?A } 例如 设E={0,1, … ,9}, A={0,1,2,3}, B={1,3,5,7,9}, 则 A?B ={0,1,2,3,5,7,9}, A?B ={1,3}, A?B ={0,2}, A?B ={0,2,5,7,9}, ?A ={4,5,6,7,8,9}, ?B ={0,2,4,6,8} 说明:1. 只使用圆括号 2. 运算顺序: 优先级别为(1)括号, (2)?和幂集, (3)其他. 同级别的按从左到右运算 实例 例1 设E={ x | x是北京某大学学生}, A,B,C,D是E的子集, A=