第章 集合的基数.pptVIP

第6章 集合的基数 无穷集与Galileo悖论 Galileo悖论 N+={1,2,…,n,…} N(2) = {1,4,…,n2,…} 哪一个集合的元素更“多”一些呢？ 部分=全体？ 集合的等势关系 比较集合的大小并不容易 等势关系的定义: 如果存在从集合A到集合B的双射, 则称集合A与B等势.集合A与B等势记为: A?B, 否则A?B A?B意味着: A, B中的元素可以“一一对应”. 要证明A?B, 找出任意一个从A到B的双射即可. 例如下面集合间是等势的。 N={0,1,2,3,4,…...}, A={0,2,4,6,8,…...}, f:N?A, f(x)=2x B={1,3,5,7,9,…...}, g:N?B, g(x)=2x+1 可列集(无穷可数集) 与自然数集等势的集合称为可列集 定理1 集合A是可数集, 充分且必要条件是可将A的元素写成序列形式, 即A= {a0,a1,a2,a3,...} 直观上说: 集合的元素可以线性排列, 对派定序列中任一元素, 可以说出: 它“前”、“后”元素是什么 可列集的例子 整数集是可列集 自然数集的笛卡儿乘积是可列集 有理数集是可列集: f: N?Q, f(n)=“第n个分数”(按照某种排列) 整数集合Z ?N 因为Z可以写成: Z={0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,...} 即可将Z中元素从0开始按照箭头指定次序排列： 集合的势 定义 集合A的元素个数称为集合的基数或势, 可记为|A| 在有限集中集合的基数是一个自然数 A={1,2,3,4,5}, |A|=5 A={a,b,c,…,x,y,z}, |A|=26 无限集合中集合的有专门的符号表示 自然数集合N的基数: ?0 (读:阿列夫零) 与自然数集等势的集合, 其基数也是?0 Cantor对角线法与不可数集 实数轴上的(0,1)区间中的实数是不可数的. 证明: 反证法. 假设(0,1)是可数的, 则可以将它的元素写成序列 形式: {r1,r2,r3,...}, 其中 ri =0.ai1ai2ai3 …… i=1,2,3,….. 即 0＜ ri＜1 aik∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} k=1,2,3,4,… Cantor对角线法 Cantor对角线法 Cantor对角线法 Cantor对角线法 Cantor对角线法 Cantor对角线法 Cantor对角线法 Cantor对角线法 Cantor对角线法 (0,1)区间的基数是一个比N的基数?0更大的无限大的数, 用?(读: 阿列夫)表示. 即??0 . 整个实数集合R ? (0,1) 证明: 构造函数f: (0,1)?R f(x)=tg(πx-π/2) 显然 f是双射, 所以R ? (0,1). 实数轴上的任何一段连续区间(a,b)的基数都是?, 所以称之为连续统基数. 康托尔定理 任何集合与其幂集不等势. 即: S?P(S) 康托尔(Georg Cantor 1845-1918) “无限！再没有其它问题如此深刻地打动过人类的心灵。” - 戴维。希尔伯特 “由康托尔在1874-1895年创造地集合论的引起争论的题目，象征着19世纪有先见之明的预言家们认为是从物理科学到民主政府的一切事物中，极其合理的原则的总崩溃，这些预言家们预见到了一切，只是没有预见到这场大崩溃。” “悖论和自相矛盾开始同时出现，这些可能最终是康托尔的理论注定要对数学做出的最大贡献，因为它们就在围绕无穷的逻辑和数学推理的基础中意想不到地存在，是现在整个演绎推论中批判运动地直接启迪。我们希望从这里能得出一个…更丰富、更“真实”—摆脱了不一致—的数学。 上述两段摘自 E.T.贝尔：《数学精英》 数学史上的“三次危机” 第一次危机 芝诺悖论(关于运动的四个悖论，如“飞箭不动”)，导致数学真正严谨性的开始(公理化) 第二次危机 微积分悖论(无穷小量等于零吗？“那逝去的量的鬼魂”)，导致极限论的诞生 第三次危机 有关一切集合的集合的悖论，导致集合论公理化。 基数的比较 * * 伽利略(1564～1642) 康托(Cantor,Georg)(1845-1918) 比较两个集合的“大小”有两种方法: 1. 数集合中元素的个数, 这只使用于有限集合. 2. 看两个集合的元素间是否有一一对应的关系(双射).