第章(行列式)线性代数及其应用.pptVIP

第1章 行列式 行列式是线性代数的一个重要组成部分.它不仅是研究矩阵理论、线性方程组求解等问题的重要工具，而且在数学的许多分支及经济、管理、工程技术等领域有着极其广泛的应用.本章以三阶行列式为基础，建立了n阶行列式的概念，讨论了n阶行列式的性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克拉默法则. 第1章 行列式 n阶行列式 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则—行列式的一个简单应用 Mathematica软件应用 第1.1节 n阶行列式的定义 本节从二、三阶行列式出发，给出 n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 1.二阶与三阶行列式 (1)二阶行列式 例1 解二元线性方程组 解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式 (2)三阶行列式 例2 计算三阶行列式 解:由主对角线法，有 例3 解线性方程组 解：系数行列式 2.排列及其逆序数 (2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反, 则称这两数构成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数,记为?(i1i2…in). 3. n阶行列式定义 分析： 推广之，有如下n 阶行列式定义 定义： n阶行列式 例7 计算4阶行列式 例8 计算n阶行列式 例9 证明上三角行列式 证： 由定义 由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明 定理: n阶行列式D=det (aij) 的项可以写为 内 容 回 顾 n阶行列式定义： 第1.2节 n阶行列式的性质 对多“0”的或是阶数较低(二、三阶)的行 列式利用定义计算较为容易, 但对一般的、 高阶的（n?4）行列式而言,直接利用定义计 算很困难或几乎是不可能的 . 因而需要讨论 行列式的性质，用以简化计算. 性质1 行列式与它的转置行列式值相等.（D=DT） 性质2 互换行列式的两行(ri?rj)或列(ci?cj)，行列式的值变号 . 推论 若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0 . 性质3 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面，即 性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 性质5 行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数 k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即 例2 计算行列式 解 解 例3 计算n阶行列式 解(1) 注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有 解(2) 注意到行列式各行元素之和等于 例4 证明 证 第1.3 节 行列式按行（列）展开 1.行列式按一行（列）展开 例1 求出行列式 解 行列式按一行（列）展开定理 n阶行列式 推论 n阶行列式 例2 计算行列式 例3 计算行列式 例4 计算n阶行列式 例5 证明范得蒙行列式（Vandermonde) 假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑 n 阶情形. 例6 已知4阶行列式 第1.4节 克拉默法则 下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个 方程的n元线性方程组的问题. 定理（克拉默法则） 如果n元线性方程组 推论1 如果线性方程组(1)无解或有两个不同解，则D=0； 例1 解线性方程组 解 系数行列式 例2 若齐次线性方程组 解 系数行列式 第1.5节 Mathematica软件应用 利用命令Det[■]可以计算行列式. 例1 计算行列式 解(2) 解(3) 解(1) 返 回 有 返 回 解 (3) 返 回 箭形行列式 证 余子式与代数余子式 在n阶行列式 中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij； 而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式. 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即 解 法1 法2 选取“0”多 的行或列 解 计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用. 解 解 证 用数学归纳法 解 法1 法2 利用行列式的按列展开定理，简化计算. 则方程组有唯一解 的系数行列式 其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素 换成方程组的常数项b1,b2,…,bn所构成的n级