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高 等 数 学 导数与微分 第2章 导数与微分 主要内容 一、导数的概念 二、求导法则 三、函数的微分 四、中值定理、罗彼塔法则 五、利用导数研究函数的性态 一、导数的概念 4、函数可导与连续的关系 二、求导法则 1、函数四则运算的求导法则 2、复合函数的求导法则 3、反函数的求导法则 同理可得： 4、对数求导法 续例16 5、隐函数求导法 6、由参数方程所确定的函数的求导法 8、高阶导数 三、函数的微分 2、微分与导数的关系 4、微分的基本公式和运算法则 1）基本函数的微分公式 2）和、差、积、商运算法则 1.罗尔定理 证明： （续） 几何解释 例28 2.拉格朗日中值定理 几何解释 例29 定理2.6(柯西中值定理 ) 综上所述 ： （二）罗彼塔法则 1、 证明 例30 例31 例33 例34 例35 例36 五、利用导数研究函数的性态 （一）函数的单调性 反之， 定理2.8 如： 例37 小结讨论函数单调性的步骤： 解 例38 例38 (二）函数极值、最值 定义2.4 这样 ★理解 依定义 其中， 定理2.9 凹的 有关拐点的讨论： 例45 例46 例48 146 定理2.12 曲线的凹凸性的判定方法： 146 解： 例43 146 一般地，判定函数凹凸性的步骤： （1）求定义域； （2）求二阶导并令其为0，求其根； （3）以根为分界点分区间判定。 146 例44 解： 连续曲线凹凸性的分界点称之为曲线的拐点。 146 则有如下定理： 146 ▲理解 146 146 例36 解 146 解 146 A.求函数的定义域,找出无定义的点; B.求函数的导数,找出驻点、不可导点; C.以无定义点、驻点、不可导点为分界点分割定义域或所给区间; D.按分割的不同分段逐一讨论.(对多项式情形可用穿针法) 146 练习: 146 分析： 146 证明 这是一种非常典型的题目，须掌握其方法. 146 1、极值 146 146 146 A.极值是一个局部概念，是函数局部范围内的最值，而不是区间或定义域内的最值； B.极值不一定唯一； C.对于极值点，仅有定义即可，不必连续或可导．故极值点可能是间断点，不可导点，或导数为零的点，但不可能为端点．（如图） 146 导数为零的点称为函数的驻点. 此外，从图中还可以看出：在函数取得极值的点处，若有切线（可导）的话，该切线是水平的；但是，有水平切线的点未必是极值点，这就有： 146 证明 146 那么如何判断某点是否取得极值呢？ 146 146 146 146 ★注意 若二阶导不存在，或为零，或计算太复杂时，则用第一充分条件或定义判定。 146 根据上述介绍，求函数极值的步骤为： 146 例41 求函数 的极值。 待续 146 不是极值点 ，所以 取极小值 ，所以 不是极值点 ，所以 续例41 146 方法： 2、最值 146 解： 146 在实际应用中，若函数在区间（开， 闭，半开半闭）上可导且只有一个驻 点，并且在该点处函数取得极值，则 该极值便是最值；若是极大值则为最 大值，若是极小值，则为最小值。 146 146 146 可见： （三）曲线的凹凸性 146 定义2.5： 146 凹的 凸的 146 凸的 146 146 146 3）复合函数微分法则 但： 因为： 于是： 所以： 若 为自变量 的复合函数： 146 例24 设 解： 146 例25 设 解法一： 解法二：先求导，再写出微分表达式 146 即： 4）微分在近似求值中的应用 146 解： 例27 146 四、中值定理、罗彼塔法则 （一）中值定理 146 （待续） 146 146 146 解 146 146 (如图) 从上图可知:罗尔定理是该定理特例。 146 推论1 推论2 若 ，有 则 146 证明 分析 146 引入： 3、柯西中值定理 146 其实：拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例. 146 三个中值定理有从特殊到一般的关系。罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又可视为柯西中值定理的特例，但同时柯西中值定理也可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式。因此，在应用中拉格朗日中值定理更为广泛． 146 如： 146 定理2.7 称此求函数极限的法则为罗彼塔法则． 146 146 更进一步地: 解 146 解 例32 解 146 如: 146 2、未定式 的极限 146 解 146 解 146 解 注意：在利用罗彼塔法则的同时,也利用一些别的方法,如等价无穷小或重要极