第章正弦定理和余弦定理.pptVIP

* 【评注】解三角形时，处理三边一角之间的关系，常用余弦定理，处理两边两角之间的关系常用正弦定理. * 　　在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程x2-2　x+2=0的两个根，且2cos(A+B)=1.求： 　　(1)角C的大小； 　　　　　(1)因为cosC=cos［π-(A+B)］　 =-cos(A+B)=-　, 　　所以C=120°. * 　　(2)AB的长度. 　　　　(2)由题设知　 　　所以AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC 　　　　　 =a2+b2-2abcos120° 　　　　　 =a2+b2+ab 　　　　　 =(a+b)2-ab 　　　　　 =(2 )2-2=10, 　　所以AB=　　. * 　　题型3：判断三角形的形状 　　已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边.若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状. 　　　　　由余弦定理得a=c·　　　　　　， 　　整理得a2+b2=c2，所以C=90°. 　　在Rt△ABC中，sinA=　，所以b=c·　=a, 　　所以△ABC是等腰直角三角形. * 　　【评注】判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形.要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径： 　　(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； * 　　(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论. 　　在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. * 　　在△ABC中，若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，请判断三角形ABC的形状. 　　　　　依题意得　　　　　　　　　　, 　　则　　　　　　　　　　　, 　　即　　　　　　,所以sin2A=sin2B, 　　则有2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=　. 　　所以△ABC为等腰三角形或直角三角形. * 题型4：正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用 在△ABC中，已知AC=3， (1)求sinA的值； (2)若△ABC的面积S=3， 求BC的值. * 　　(1)由 得 由此及0Aπ，即 得　　　　　故 (2)由 得 由此及余弦定理得 故 * 【评注】：本题将三角恒等变换、求值与解三角形综合一起考查，这是近几年高考的一种命题趋势，注意综合运用.应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的.在解三角形中，利用正、余弦定理进行边角转化是解题的基本方法.在三角函数的化简、求值中，常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用. * 　　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且cosA=　　. 　　(1)求sin2　　　+cos2A的值; 　　 　　(1)sin2　　 +cos2A= 　　　　 +cos2A 　　　　　　　　　　 = +2cos2A-1 　　　　　　　　　　 =　　　. * （ 2）若b=2，△ABC的面积S=3，求a的值. 因为 所以 由S△ABC= bcsinA, 得 解得c=5. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA, 可得 所以 * 1.正弦定理 (1)变形公式： ①化边为角： a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC； ②化角为边： ③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. * (2)基本题型： ①已知一边两角，解三角形：先由内角和定理求第三角，再用正弦定理,有解时只有一解. ②已知两边和其中一边的对角，解三角形：先由正弦定理求另一边的对角,再由内角和定理与正弦定理求其余的边与角.在已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. * 2.三角形面积定理： * 3.三角形内角和定理： 在△ABC中，A+B+C=πC=π-(A+B) 4.三角形中的基本关系: ①在△ABC中：sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC； ② tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; ③在△ABC中，b=a·cosC+c·cosA，… * (