第章行列式及其应用.pptVIP

作业 P55 1（1）（3） 作业 P64 2（2） （3） P65 5（1） 作业 P73 9 P74 11 计算n阶行列式的值 按第一行展开 备用题3 解 得递推公式 特征4：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素，按这一行展开，并能够得到较低阶的具有相同结构的行列式，如备用题2、3。 计算n 阶行列式 Dn拆分为如下两个行列式，且第一个行列式按最后一列展开， 注意与例3.7的 形式不同。 第二个行列式利用 备用题4 解 特征5：除对角线元素外，上三角各元素相等，下三角各元素相等，常用拆分法或数学归纳法求解。阅读书上例题3.10。 设分块矩阵 ，其中A是m阶方阵，B是 n阶方阵，证明 。 设 备用题5 证明 对 作ri+krj 类型的变换将其化为下三角行列式，设为 对 作ci+kcj 类型的变换将其化为下三角行列式，设为 于是，对 的前m行作与 相同类型的变换ri+krj ，再对后n列 作与 相同类型的变换ci+kcj ，化为下三角行列式 所以 类似地，若 其中A是m阶方阵，B是n阶方阵， 则 分别计算下面两个行列式 备用题6 解 特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把 第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。 将行列式第2,3,…,n列加到第一列, 得 计算 n 阶行列式 例3.7 解 计算 n 阶行列式 利用初等列变换可将该行列式化为三角形行列式 特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。 例3.8 解 计算范德蒙德(Vandermonde)行列式 从最后一行开始，每行减去上一行的an倍。 特征3：范德蒙德(Vandermonde)行列式的计算过程及结论。 例3.9 解 按最后一列展开 定理3.3（行列式的乘法定理） 只用第三种初等行变换可把A化为上三角矩阵 证明 设A，B是 n 阶方阵，则 注 当A，B都是n阶方阵时，一定有 只用第三种初等列变换可把B化为上三角矩阵 即存在第三种初等矩阵 使得 并有 因此 设A是奇数阶方阵，且 证明 例3.10 证明 解 例3.11 ，计算 3.3 行列式的应用 行列式的应用主要体现在理论推导 。 方阵A可逆的充分必要条件是 ， 时，其逆矩阵 ，其中A*为A的伴随矩阵。 定理3.4 且当A可逆 说明1 该定理不仅可以用来判别方阵可逆，同时也提供了求逆矩阵的计算公式。 说明2 当 时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。 证明 必要性 设方阵A可逆，则存在A-1，使 对上式两边取行列式，并利用行列式乘法定理得 所以 充分性 所以A可逆，且 设 ， 由行列式展开定理 讨论矩阵 何时可逆，且求其逆矩阵。 A可逆的充分必要条件为 例3.12 解 求A的逆矩阵 例3.13 解 设 例3.14 证明 证明A可逆的充要条件是 并求其逆。 设A，B均为n阶方阵，证明AB可逆的充分必要条件 是A，B均可逆。 若A，B均可逆，则 从而 因此AB可逆。 反之，若AB可逆，则 从而 因此A、B可逆。 例3.15 证明 有唯一解 解的分量为 定理3.5 克莱姆法则 注 通常把解的分量表达式叫做克莱姆法则。 设 ，则线性方程组 其中Dj (j=1,2,…,n)是把系数行列式 D中第 j列换成向量b而得到的行列式。 可知A可逆，且方程组有惟一解，其解为 由系数矩阵的行列式 即 证明 比较左右两边矩阵的j 行, 得 推论3.4 设齐次线性方程组Ax = 0，如果系数矩阵行列式 则方程组Ax = 0只有零解。 已知抛物线 经过三点(1,0)，(2,3) (-3,28)，求该抛物线的方程。 将三点的坐标代入抛物线方程，得a,b,c应满足的非线性 经计算得 例3.16 解 方程组 注 系数行列式是范德蒙行列式 故由克莱姆法则，上述方程组的惟一解为 于是所求抛物线方程为 系数行列式 按第3行展开 当 时，齐次方程组有非零解。 当 为何值时，齐次方程组有非零解？ 例3.17 解 问a,b为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多