第节(齐次方程的分离变量法).pptVIP

把此常数记为： 此时分解为两个常微分方程： 对于第一个方程，隐含着附加条件，某点的极角可以相差 的整数倍，但电势在某点是确定值，故： 即： 自然的周期条件 此条件与常微分方程构成本征值问题，可以求得常微方程解： 从而可求得本征值和本征函数： 把本征值代入常微分方程 可得： 欧拉型常微分方程 作代换 方程可化为： 由此我们可得到分离变数形式的解为： 拉普拉斯方程是线性的，其一般解为所有本征解的叠加： 为了确定上式中的系数，先代入齐次边界条件： 一个傅里叶级数为零，所有的系数为零，即： 再来看非齐次边界条件： 对于非常大的 一般解中的 远远小于 可以略去，代入非齐次边界条件可得： 这里如果出现 则主要部分就不是 而是 主部 故可得： 由第一项 可得 可得： 最后我们可得柱外的静电势为： 对于此一般解，中间一项，即 是原来静电场的电势 分布，最后一项 当 充分大时，可以忽略，代表 在圆柱附近对匀强电场的修正，是柱面感应电荷的影响。 对于 系数是任意常数，表明有不确定的因素！ 在物理上，此不确定因素出在原来导体所带电量上，这一项正 是圆柱原来带的电量。 讨论 设原来圆柱体不带电，则D0＝0，此时 若只看y轴下方，则如图，可以看成平行 + + + + 带电云 A B y x 大地 此时，上下两端，即A和B点的电场强度为： 是原来电场的两倍！且与半径无关！ 此处最容积击穿！ Y轴上的电势 与导体圆柱相同 A 电容器的极板必须加工的非常平滑！ 两倍！对于高压电容器来说，很危险！容易击穿，故高压 此突起的电场强度是其他匀强电场强度的 板电容器之间的静电场，但上面带有突起 例5： 长为l的理想传输线，一端x＝0接交流电，电动势为 另一端x＝l是开路，求解线上的稳恒电振荡。 理想传输线是一种理想化的模型，实际上总有损耗，初始条件引起的自由振荡总是逐渐衰减，经过许多个周期之后，自由振荡消失，此时的电振荡完全是由交流电源引起的，电源提供的能量正好补偿了消耗，使得振荡可以维持而不衰减，这就是现实中的稳恒电振荡。 解 初始条件所引起的自由振荡已经消失，故不用考虑初始 条件，这里的定解问题是没有初始条件的。 最后取结果的 虚部即可 稳恒振荡完全由交流电源引起，故周期相同，则： 代入泛定方程，可得X的常微分方程： 方程的解为： 故： 第二项是电源发出的波，第一项是反射波 系数A和B由边界条件确定，边界中有电流，故还需要j的表达式 由物理定律可得电流：（具体参看相关资料） 把v和j分别代入边界条件可得： 则稳恒振荡由 给出，系数A和B由上面的关系给出。 输入端电压同电流之比叫做输入阻抗： 当 此时对电源来说，相当于一个短路元件！ * 第八章 分离变数(傅里叶级数)法 分离变数法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的 第一节、齐次方程的分离变数法 （一）分离变数法介绍 研究两端固定的均匀弦的自由振动，即： 边界 初始 征值问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。 个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成本 各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解成几 这里弦是有限长的，即有两个端点，波在端点时间来回反射 同频率的反向波形成驻波 在驻波中，有的点振幅最大，叫做波腹，还有些最小，叫做波节 驻波没有波形传播，即各振动项位点不依次滞后，他们按统一方 此时，驻波的一般表达式具有分离变数的形式！ 把上式代入振动方程和边界条件可得： （与t无关） 式随时间t振动，可以表示成T（t）但各点振幅随地点而异，即是 x的函数X（x），则驻波的一般表达式为： 对于方程 同除 则可得 左边是时间t的函数，与坐标x无关，右边是坐标x的函数，与 就把原方程分为两个常微分方程，即： 我们先来求解X，根据 的不同来考察 （1） 时间t无关，显然不等，除非等于常数，记常数为 方程的解是 积分常数由初始条件确定： 由此可得 即 驻波 没有意义，故排除！ （2） 此时方程的解是： 积分常数由初始条件确定： 由此可得 即 没有意义，故排除！ （2） 此时方程解为： 积分常数由初始条件来确定 此时如果 仍然可得 从而 应该予以排除！ 只剩下一种可能： 则 即： 而此时 C2为任意常数 注：上式正是傅里叶正弦级数的基本函数族！ 由以上过程可知道，分离变数过程中所引入的常数 不能 为负数或者零，也不是任意的正数，必须取特定的数值，才能 使原方程有有意义的解。常数 的这种特殊数值叫做本征值， 而此时T的方程应该写成： 此方程的解为： 其中，A，B为积分常数 把X（x）和T（t）代入原方程就可得分离变数形式的解： 相应的解叫做本征函数，即构成本征值问题。 这就是两端固定弦上的可能的驻波，每个自然数n对应一个 在 共计n＋1个点上， 则U（x,t）=0,这些点是驻波的节点