第讲概率论与数理统计第一章.pptVIP

结绳问题-----将n根绳子的2n个头任意两两打结，试求事件A={恰好结成n个圈}的概率。 解法1： ①将2n个头任意排成一排，然后第1、2打结，第3、4打结，……，因此一种结法相当于2n个头的一个全排列，n(Ω)=(2n)! ②A事件，则每根绳必须首尾相结，即每根绳的两个头必须在(2k-1)和2k位置上，于是n根绳有n！种排法,又各绳头尾又有两种排法 所以P(A) = n!2n / (2n)! = 1/(2n-1)!! 解法2（乘法公式）： 以Bi表示第i根绳首尾相结，则A=B1B2…Bn n(Ω)=(2n)! n(B1)=2n(2n-2)! 所以P(B1) = 1 / (2n-1) 那么P(B2|B1) = 1 / (2(n-1)-1) = 1/(2n-3) (第一根绳以首尾打结，问题化为n-1根绳时首尾相结问题)，…… 所以P(A)=P(B1B2…Bn) = P(B1) P(B2|B1) …P(Bn|B1B2…Bn-1)=1/(2n-1)!! 解法3（全概率公式）： 以B={第1根绳首尾相结}与 作为划分，使用全概率公式： 例1.16 商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1。某顾客选中一箱,从中任选4只检查,结果都是好的,便买下了这一箱。问这一箱含有一个次品的概率是多少? 解：设A：从一箱中任取4只检查，结果都是好的。 B0, B1, B2分别表示每箱含0,1,2只次品。 已知：P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1, 例1.17 数字通讯过程中, 信源发射0、1两种状态信号,其中发0的概率为0.55, 发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰, 在发0的时候, 接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候, 接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。 现接收端接收到一个“1”的信号,问发端发的是0的概率是多少? 解：设A：发射端发射“0”, B：接收端接收到一个“1”的信号。 0 (0.55) 0 1 不清 (0.9) (0.05) (0.05) 1 (0.45) 1 0 不清 (0.85) (0.05) (0.1) =0.067 0 (0.55) 0 1 不清 (0.9) (0.05) (0.05) 1 (0.45) 1 0 不清 (0.85) (0.05) (0.1) 这一小节我们介绍了 全概率公式 贝叶斯公式 它们是加法公式和乘法公式的综合运用。 值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”。可见贝叶斯公式的影响。 §1.4 独立性 一、两个事件的独立性 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，设A={第一次掷出6点}， B={第二次掷出6点}, 求 P(B|A)，P(B)。 这就是说：已知事件A发生，并不影响事件B发生的概率, 即 P(B|A) = P(B), 这时称事件A、B独立。 由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B)。 P(AB)=P(A)P(B|A) 用 P(AB)=P(A) P(B) 刻划独立性，比用P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好，它不受P(B)0或P(A)0的制约。 两事件独立定义： 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A、B独立, 或称A、B相互独立。 两事件相互独立的性质 1. 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的。 若P(A)0, 则A 与 B 相互独立的充分必要条 是P(B|A) = P(B) 。 若P(B)0, 则A 与 B 相互独立的充分必要条件 是P(A|B) = P(A)。 若P(A)0, P(B)0, “A 与 B 相互独立” 和 “A 与 B 互不相容” 不能同时成立。 问：能否在样本空间S中找两个事件，它们既相互独立又互斥? 任意事件A与F独立且互斥。 因为， AF= F, P(A F)= P(F)= 0 = P(A)P(F)， 所以, 任意事件A与F独立且互斥。 设A、B为互斥事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。 设A、B为独立事件，且P(A