第讲行列式定义的引入.pptVIP

* 行 列 式 第1节 矩阵概念的引入 第2节 排列及其奇偶性 第3节 行列式的定义 解方程组 本课程主要讲述： 一般形式线性方程组 的求解问题(理论) 注意实践上n与s的取值。 第1节 矩阵概念的引入 问题1：电脑硬盘容量？ ≥ 500G, 1T, 2T 问题2：如此大的存储空间作为研究是否够用？ 一次地震勘探的数据量多达数百G。 问题3：如何有效组织这些数据？ 最简单的组织形式就是将数据按一维顺序形式排列起来，这是一维数组；其它常见的组织形式还有二维数组（又称矩阵），三维与高维数组，链表，树等形式。 每种组织都有其自己的特点，应使问题选用合适的组织形式。我们主要研究最基本的一维（向量）与二维数组（矩阵）形式。 矩阵定义：由 sn 个数排成如下的的 s 行 n 列的阵列 就称为一个 s×n 矩阵。 其中 aij 是数，称为矩阵的元素, i=1,2,…,s 称为元素的行指标，j=1,2,…,n称为元素的列指标。 在记号上，一般用英文大写字母A，B，C表示矩阵，用小写字母表示矩阵的元素。 矩阵的例子： A ＝ 特殊矩阵（仅从外观上） 1) s=n, 如上边的矩阵A, 称为方阵； s=1, 只有一行的矩阵，称为行矩阵，又称行向量； n=1, 只有一列的矩阵，称为列矩阵，又称列向量； s=n=1, 该矩阵只含一个元素，因此大多数情况下直接使用该数。 问题：请在方阵 A 上定义一个函数？ 基本要求：自然地，希望这 n2 个数都能被用上，且使每个位置上的数对所构造函数的贡献尽量一样，即它们的位置在函数的定义中应保持某种平衡。 针对上面的目标，该如何定义这个函数？或者说应有哪些基本原则应该遵循？ 如下原则可能是需要的： 可分性，即定义的函数不应是一个不可有效分割的整体； 各部分间应类似，不应出现过多的分部形式； 每一部分应包含部分数据； 简单性，应避开使用复杂的函数形式； 应存在抵消机制，即保持所定义的函数在可控的范围内，而不会轻易出现天文数字。 … 第2节 排列及其奇偶性 目的：为了引进对方阵函数定义的正负抵消机制。 定义：由1, 2,…, n 组成的一个有序数组称为一个n级排列。 例如，2431是一个四级排列，54321是一个5级排列。 n级排列的总数是 n (n-1) · · · 2 · 1 = n! 排列 12 · · · n具有自然顺序，即数字按递增的顺序排列起来，称这样的排列为标准排列，其它的排列都或多或少地破坏自然顺序。 定义：在一个排列中，如果一对数所处的前后位置与其大小次序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序或反序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数或反序数。 排列 2431 的逆序数是 4； 排列 45321 的逆序数是 9。 对任一n级排列 用 表示其逆序数。 从而 注意到n级标准排列的逆序数为0，而排列n (n-1)…2 1 任取两个数均为逆序，从而具有最大逆序数，且其逆序数为 n(n-1)/2, 故 定义：称逆序数为偶数的排列为偶排列；逆序数为奇数的排列为奇排列。 由 知排列 2431为偶排列， 45321为奇排列。 例 ＝ 逆序数为 故排列的奇偶性与 k 的奇偶性相同。 2) 逆序数为 故当 n=4k, 4k+1时，排列为偶排列； 当 n=4k+2, 4k+3时，为奇排列。 例：计算以下各排列的反序数，并讨论它们的奇偶性 在排列中，把任意两个元素（数）对调位置，而其余的数不动，就得到另一个排列，这种作出新排列的方法（变换）称为一个对换。 定理：对换改变排列的奇偶性。 推论：在全部n级排列中，奇偶排列的个数相等，各占n!/2。 定理：任意一个 n 级排列与标准排列 12 … n 都可以经过一 系列对换互变；且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶 性。即奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成 标准排列的对换次数为偶数。 第3节 行列式的定义 定义：n 级行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积的代数和。 *