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第讲行列式的降价处理-按行列展开
* 行 列 式 第1节 矩阵概念的引入 第2节 排列及其奇偶性 第3节 行列式的定义 第4节 行列式的简单使用与对角线法则 第5节 行列式的计算与性质 第6节 行列式的降价处理:按行列展开 第6节 行列式的降价处理:按行、列展开 降阶、降级处理是数学处理的基本思路之一。对n阶行列式也可使用这一思路:将n阶行列式变成n-1阶行列式进行处理,从而可层层降阶到低阶行列式进行处理,这便是行列式的按行或按列展开。 一 特殊行列式的降阶处理 一般行列式的按行、按列展开 特殊行列式的计算 例:证明 (降阶处理) 左端 = = = = 右端 一 特殊行列式的降阶处理 更一般地,如下行列式能否降阶处理? 又因 综上,有 一般行列式的按行展开 其中 上面分析表明,一般n阶行列式可按某行展开成该行元素与其代数余子式的积的和的形式: 此行列式相当于在行列式 又因代数余子式可降阶为如下形式(相等或符号相反) 综合前述知识知,Aij 与 Mij 的有如下关系 即Aij 可通过计算一个n-1阶行列式得到。 下式表明了行列式可降阶处理。 称上式为行列式的按第i行展开式。(i=1,2,…,n) 按第 j 列展开行列式 = ? 行列式的按行、列展开式表明 行列式 = 某一行的元素分别与各自代数余子式的乘积之和 对行列式d ? 当k=i时,是d按第i行的展开,仍为d; 当k≠i时, 则表示的是d的第k行元素与另一行元素的代数余子式相乘。其结果是否仍为d? 例,已知行列式 = 例: 当k≠i时, 不妨设 ik,则 = 0. 定理:设 例:计算行列式 问题:与化三角行列式相比,计算量有否变化? *
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