第课高等数学建模案例.pptVIP

数学建模案例选讲 高等数学建模案例 介值定理 席位分配问题 * “物理学在二十世纪取得了令人惊讶的成功，它改变了我们对空间和时间、存在和认识的看法，也改变了我们描述自然的基本语言。在本世纪行将结束之际，我们已拥有一个对宇宙的崭新看法，在这个新的宇宙观中物质已失去了它原来的中心地位，取而代之的是自然界的对称性。” —— 斯蒂芬.温伯格 一、对称性的概念源于生活 日常生活中常说的对称性，是指物体或一个系统各部分之间的适当比例、平衡、协调一致，从而产生一种简单性和美感。这种美来源于几何确定性，来源于群体与个体的有机结合。 人体、动植物结构对称 天竺葵 长春草 建筑物(宫殿,寺庙,陵墓,教堂)左右对称 硬币游戏中的数学对称 如果你和你的对手准备依次轮流将硬币放在一个长方形桌子上，使得硬币不重叠，最后放上去的人为胜，开始时你有权决定先放还是后放，为了赢得比赛，应该采取什么样的策略？ 如图，先放在中心位置肯定能赢，策略如下：先放在中心位置一个，然后根据对手所放硬币情况在中心对称位置放自己的硬币，先在中心位置放的肯定能赢。 定义: 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值. 例1 证 由零点定理, 例2 证 由零点定理, 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析： 模型假设 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地 1. 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; 2. 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 3. 地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三只脚同时着地. 问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有 三只脚着地放不稳，然而只需稍挪动几次就可以使四 脚同时着地，试用数学语言来解释该现象。 模型构成 先用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性 x B A D C O D′ C ′ B ′ A ′ 用?(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地 距离是?的函数 四个距离(四只脚) A,C 两脚与地面距离之和 ~ f(?) B,D 两脚与地面距离之和 ~ g(?) 两个距离 ? 椅脚与地面距离为零 正方形ABCD 绕O点旋转 正方形对称性 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f(?) , g(?)是连续函数 对任意?, f(?), g(?)至少一个为0 数学问题 已知： f(?) , g(?)是连续函数 ; 对任意?， f(?) ? g(?)=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在?0，使f(?0) = g(?0) = 0. 模型构成 地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地 模型求解 下面给出一种简单的证明方法 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(?/2)=0 , g(?/2)0. 令h(?)= f(?)–g(?), 则h(0)0和h(?/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在?0 , 使h(?0)=0, 即f(?0) = g(?0) . 因为f(?) ? g(?)=0, 所以f(?0) = g(?0) = 0. 评注和思考： 建模的关键 ~ 进一步讨论：考察四脚呈长方形的椅子 ?和 f(?), g(?)的确定 某校有200名学生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各 有多少个席位？ 按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则 表示某单位的席位数 表示某单位的人数 表示总人数 表示总席位数 1.1 问题的提出 20个席位的分配结果 (20/100)?20=4 (30/100)?20=6 (50/100)?20=10 分配方案 40/200 40 丙 60/200 60 乙 100/200 100 甲 席位数 所占比例 人数 系别 现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。 17.0%?20=3.4 31.5%?20=6.3 51.5 %?20 =10.3 分配方案 34/200=17.0% 34 丙 63/200=31.5% 63 乙 103/200=51.5% 103 甲 席位数 所占比例 人数 系别 10 6 4 10 6 4 现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！） 为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。 21个席位的分配结果 17.0%?21=3.570 31.5%?21=6.615 51.5 %?21 =10.815 分配方案 34/200=17.0% 34 丙 63/200=31.