级-迭代加速法.pptVIP

* 定理3 若 在不动点 邻近有直至 阶的 连续导数，且满足 则简单迭代法： 是局部收敛的，且收敛阶为 分析 已知条件有各阶导数均为0,因此用泰勒展开公式. 证明 由推论2，简单迭代法是局部收敛的. 下证收敛阶为 ＃ 3.高阶收敛定理 注 当m=1时，是线性收敛. m阶收敛于x*: g(xk)在x*点展开 §3 简单迭代法 例7 迭代过程 收敛于 问其收敛速度. 解 因为迭代函数 所以 故该迭代是二阶收敛. , 要使迭代过程 至少平方收 x=g(x)至少平方收敛，所以取 例8 解 敛到 用简单迭代法求值 例9 用简单迭代法求 的近似值. 解 设 则 所以,求 的近似值转化为求方程 的正根， 方程 以 为迭代函数， 以 为初始近似得到迭代序列 取 作为 的近似值，得： 下证序列 收敛于 只要证 满足定理1， 即证 在某个区间上满足定理1的条件. 取区间为 列出等价 取区间为 在 上满足定理1. 则迭代法收敛. 即1.4142157就是 近似值. 3.3 迭代函数g(x)的选取方法 选取的g(x )必须满足 (1) 与原方程同解； (2) 迭代序列收敛于其根. 存在， 为含根区间, 使得 设 为正常数, 试用形如 作迭代函数. 选取 使得 且存在常数 作为迭代函数. 则简单迭代法收敛于 的根 特别, 使得 (§5 牛顿迭代法的变形) 两种选g(x)的方法 即 1) 基于f (x)=0 假设已知 此时 不能作为迭代函数,若 的反函数 容易求出,可用 作为迭代函数. ? 因为 与 同根. 此时用 求 的根 且该迭代法收敛于 例10 求 在 上的根. 解 在 上有根. 方程 与 等价. 但 故不能用 作为迭代函数. 然而 的反函数 的导数 在 上满足 所以可用 作迭代函数求 的根. 2) 基于迭代函数 a)反函数法 例11 求 在 上的根. b)待定参数改变形式 2) 基于迭代函数 可适当选择k，使 在根的附近满足 加权法 设xk是根 x*的某个近似值，用迭代公式校正一次得 又 x*=g(x*)， 由中值定理有 变化不大，其估计值为L,则有 由此解出 x*，得 即将迭代值 与xk加权平均，得 计算过程 (1) 迭代 (2) 改进 可取为xk点的 近似值 §4 迭代的加速法 例12 用加权法加速技术求方程x = e-x在0.5附近的一个根 . 解 因为在 x0=0.5附近 所以加速迭代公式写成 计算结果如表4-1所示 . 0.5 0.566582 0.567132 0.567143 0.567143 0 1 2 3 4 表4-1 说明 上述迭代18次得到精度 10-4的结果0.56714，这里迭代4次 即可得到 0.567143，加速的效果是显著的. (例4) 4.1 Aitken(埃特金)加速方法 假设简单迭代序列 线性收敛于 即 设 (若等号成立,则 是精确解) (若等号成立,则 不收敛.因为 则 如图示: 不收敛于 ) 记序列 的埃特金加速序列为 埃特金加速序列 比原简单序列 更快地收敛于 二阶差分算子 1.迭代公式 定理6 若序列 线性收敛于 则 的埃特金加速序列 比原简单序列 更快地收敛于 即 分析 该定理的证明用数学分析中证明极限的技巧. 证明 则有 由 得 ，即 # 2.收敛性 3.几何意义 设初值 由迭代法: 由三角形相似,得: 过两点 作直线 , 说明 该表达式正是埃特金加速收敛的公式, 比 x2更接近于x*. 从图中可以看出 (1) 这里的 并不是简单收敛列 中的 (2) 对某些不收敛的情况,用埃特金方法“加速”也有可能收敛. 的交点为 与 4.2 Steffenson迭代方法 在埃特金加速法中, 只要有三个相邻点就可以进行加速,把 简单迭代与埃特金加速方法结合起来可建立Steffenso迭代方法. 设g(x)为迭代函数, x0为初始值, 为迭代序列, 则迭代 过程如下: 并有局部收敛定理. 定理8 若 是g(x)的不动点,g(x)一次连续可微, 存在,则存在 只要 由Steffenson方法产生的 收敛于 而且收敛阶至少为2. 迭代序列 优点 收敛速度快. 缺点 计算量大，一步Steffenson方法迭代的计算量相当于两 步以上简单迭代. *