线性定常离散系统状态方程的解.pptVIP

Ch.3 线性系统的时域分析 线性定常离散系统状态方程的解(1/1) 线性定常离散时间系统的状态方程求解有递推法和Z变换法两种主要方法: Z变换法只能适用于线性定常离散系统, 递推法可推广到时变系统和非线性系统。 下面将只讨论 线性定常离散系统 的状态空间模型求解。 递推法(1/10) 3.5.1 递推法 递推法亦称迭代法 用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程 x(k?1) ? Gx(k) ? Hu(k) 时, 只需在状态方程中依次令k ? 0,1,2,…,从而有 x(1) ? Gx(0) ? Hu(0) x(2) ? Gx(1) ? Hu(1) ? G2x(0) ? GHu(0) ? Hu(1) …… 递推法(2/10) 若给出初始状态x(0), 即可递推算出x(1), x(2), x(3), …, 重复以上步骤, 可以得到如下线性离散系统状态方程的递推求解公式: 递推法(3/10) 若初始时刻k0不为0, 则上述状态方程的解可表达为: 递推法(4/10) 与连续系统状态方程求解类似, 对线性离散系统的状态方程求解, 亦可引入状态转移矩阵 该状态转移矩阵是下列差分方程满足初始条件的解: ?(k?1) ? G?(k) ?(0) ? I 用递推法求解上述定义式, 可得 ?(k) ? Gk 因此, 可得线性定常离散系统状态方程另一种解表示形式: 递推法(5/10) 比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式: 连续系统 递推法(6/10) 对上述离散系统状态方程的求解公式, 有如下几点说明: 1. 与连续系统类似, 离散系统状态响应也由两部分组成 一部分为由初始状态引起的响应, 与初始时刻后的输入无关, 称为系统状态的零输入响应 另一部分是由初始时刻后的输入所引起的响应, 与初始时刻的状态值无关, 称为系统状态的零状态响应 2. 引入状态转移矩阵概念和表示之后, 线性连续系统和线性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致, 都由零输入响应和零状态响应叠加组成 只是相应的零状态响应在形式上略有不同, 一为求积分(卷积), 一为求和(离散卷积), 但本质是一致的 递推法(7/10) 3. 在由输入所引起的状态响应中, 第k个时刻的状态只取决于此采样时刻以前的输入采样值, 而与该时刻的输入采样值u(k)无关 这即为计算机控制系统固有的一步时滞 递推法(8/10) 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵G的状态转移矩阵 (1) 对角线矩阵 当G为如下对角线矩阵: G ? diag{?1 ?2 … ?n} 则状态转移矩阵为 递推法(9/10) 递推法(10/10) Z变换法(1/7) Z变换法(2/7) Z变换法(3/7) Z变换法(4/7) Z变换法(5/7) Z变换法(6/7) Z变换法(7/7) 令k ? 0, 1, 2, 3代入上式, 可得 输出方程的解(1/1) 3.5.3 输出方程的解 将状态方程的解代入如下线性定常离散系统的输出方程: y(k) ? Cx(k) ? Du(k) 中, 可得输出y(k)的解为或: 习题 习题 3-3 试求下列状态方程的离散化方程(采样周期T ? 1s) 3-4 已知离散系统的状态方程和初态: 试求u(k), 使系统能在第个采样时刻转移到原点. * * 3.4 线性定常离散系统状态方程的解 上述递推计算公式中的第2项为离散卷积, 因此有如下另一形式的线性离散系统状态方程的解表达式 或 离散系统 初始状态的影响 初始时刻后输入的影响 (2) 块对角矩阵 当G为如下块对角矩阵: G ? block-diag{G1 G2 … Gl} 其中Gi为mi?mi维的分块矩阵, 则状态转移矩阵为 (3) 约旦块矩阵 当Gi为特征值为?i的mi?mi维约旦块, 则分块矩阵的矩阵指数函数为 (4) 对系统矩阵G, 当存在线性变换矩阵P, 使得则有 3.5.2 Z变换法 已知线性定常离散系统的状态方程为 x(k?1) ? Gx(k) ? Hu(k) 对上式两边求Z变换,可得 zX(z)?zx(0) ? GX(z) ? HU(z) 于是 (zI?G)X(z) ? zx(0) ? HU(z) 用(zI?G)?1左乘上式的两边,有 X(z) ? (zI?G)?1zx(0) ? (zI?G)?1HU(z) 对上式进行Z反变换,有 x(k) ? Z?1[(zI?G)?1zx(0)] ? Z?1[(zI?G)?1HU(z)] 其中W1(z)和W2(z)分别为w1(k)和w2(k)的Z变换 将上述公式推广到向量函数和矩阵函数, 则可得 在Z反变换中对标量函数存在