线性代数逆矩阵.pptVIP

第3节 逆矩阵(inverse matrix) 3.1 逆矩阵的概念 3.2 方阵可逆的充分必要条件 3.3 可逆矩阵的性质 小结 《线性代数》 下页 结束 返回 3.1 逆矩阵的定义 3.2 方矩阵可逆的充分必要条件 3.3 可逆矩阵的性质 3.4 用逆矩阵求解线性方程组 下页 3.6 伴随矩阵的常用性质 3.5 用逆矩阵求解矩阵方程 解方程组 解：将其写成矩阵方程 两边都左乘矩阵F得 从而得方程组的解: 下页 那么,F 矩阵是怎么得到的呢？ 第3节 逆矩阵 1. 逆矩阵概念的引入 定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 AB?BA?E， 那么矩阵A称为可逆的，而B称为A的逆矩阵. 2. 可逆矩阵的定义 这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有 AB=BA=E， AB1=B1A=E 于是 B =B1 . =EB1 =( BA)B1 =B(AB1) =BE 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 逆矩阵的唯一性 下页 A的逆矩阵记为A?1 . 即若AB?BA?E ，则B?A?1 . 定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 AB?BA?E， 那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵. 2. 可逆矩阵的定义 定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 由于A，B位置对称，故A，B互逆，即B?A?1， A?B?1. 如 可以验证， 下页 则矩阵 即为 的可逆矩阵或逆阵. 在数的运算中， 当数 时， 有 其中 为a 的倒数， （或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A-1 , 使得 比较—逆矩阵与倒数 例1 设 解 设 是 的逆矩阵, 则 利用待定系数法 所以 例1 设 又因为 A11 A21 ??? An1 A12 A22 ??? An2 A1n A2n ??? Ann ??? ??? ??? ??? 定义2 由矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵，记为A* .即 a11 a12 ??? a1n a21 a22 ??? a2n an1 an2 ??? ann ??? ??? ??? ??? A = 的代数余子式构成的矩阵 A11 A21 ??? An1 A12 A22 ??? An2 A1n A2n ??? Ann ??? ??? ??? ??? A* = 下页 3. 伴随矩阵 特别注意 A*的元素排列顺序 例1. 求 的伴随矩阵A*. 解: 同理 A13=1， A21=-2， A22=1， A23=-1， A31=-1， A32=2， A33=1 因此A的伴随矩阵 A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 三阶矩阵A的伴随矩阵A*为 ， 下页 定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|?0，而且 其中A*为方阵A的伴随矩阵. 所以|A|?0，即A为非奇异. 设A可逆， 故|A|·|A?1|?|E|?1， 使AA?1?E , 即有A?1， 证： 必要性. = — A*， 1 |A| A-1 定义3 对于n阶矩阵A，若行列式|A|=0，则称A是奇异的 (或降秩的或退化的)，否则称A为非奇异的(或满秩的或非退 化的) . 下页 5. 方阵可逆的充分必要条件 4. (非)奇异矩阵 a11 a12 ??? a1n a21 a22 ??? a2n an1 an2 ??? ann ??? ??? ??? ??? A11 A21 ??? An1 A12 A22 ??? An2 A1n A2n ??? Ann ??? ??? ??? ??? AA*= =|A|E |A| 0 0 0 |A| 0 ??? ??? ??? 0 0 |A| ??? ??? ??? ??? = 充分性. 定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|?0，而且 其中A*为方阵A的伴随矩阵. 证： = — A*， 1 |A| A-1 设A非奇异， B = — A* 1 |A| 取 =A ( — A* ) 1 |A| 则有 AB = — AA* 1 |A| 注意： = — |A| E 1 |A| =E . 同理可证BA=E . 因此A可逆