经济数学-泰勒级数与幂级数2.pptVIP

无穷级数 二、将函数展开成幂级数的方法 二、小结 例7 解 经 济 数 学 下页 返回 上页 一、泰勒级数的概念 二、函数展开成幂级数的方法 第四节 泰勒级数与幂级数（2） ----函数展开成幂级数 三、小结 思考题 一、泰勒级数的概念 由泰勒公式知, 如果函数 在点 的某领域内 有 阶导数, 则对于该领域内的任意一点, 有 其中 介于 与 之间. 定理 1 设 在区间 内存在任意阶 的导数, 幂级数 的收敛区间 为 则在区间 内 成立的充分必要条件是: 在该区间内 式右边的级数称为 在点 处的泰勒 级数. 麦克劳林级数 时的泰勒级数 称为 的麦克劳林级数. 注: 由上节定理 可知, 如果函数 能在某个 区间内展开成幂级数, 则它必定在这个区间内的每 一点处具有任意阶的导数. 即没有任意阶导数的函 函数的麦克劳林级数 数是不可能展开成幂级数的. 是 的幂级数, 可以证明, 如果 能展开成 的 是 的幂级数, 可以证明, 如果 能展开成 的 幂级数, 则这种展开式是唯一的, 的麦克劳林级数. 它一定等于 由函数 的展开式的唯一性可知, 展开成 的幂级数, 克劳林级数. 但是, 反过来如果 的麦克劳林级 它却不一定收敛于 数在点 的某领域内收敛, 如果 能 则这个幂级数就是 的麦 例如, 函数 在 点任意阶可导, 所以 的麦克劳林级数为 该级数在 内和函数 显然, 的麦氏级数处处不收敛于 且 除 外, 因此, 虽然 当 在 处具有各阶导数时, 的麦克劳林级数能被作出来, 是否能在某个区间内收敛, 却需要进一步考虑. 但这个级数 以及是否收敛于 步骤: (一) 直接法 既： 把函数 展开成泰勒级数, 可按下列步骤进行: 计算 写出对应的泰勒级数 并求出该级数的收敛区间 验证在 内, 写出所求函数 的泰勒级数及其收敛区间. 完 例1 解 （麦克劳林级数） 例2 解 例3 级数. 解 所以 于是 的麦克劳林级数为 将函数 展开成 的幂 该级数相邻两项的系数之比的绝对值 因此, 该级数的收敛半径 收域区间为 ——牛顿二项展开式 注意: 双阶乘 （二）间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例如 例1 解 而 在上式两端从 0 到 逐项积分, 得 因为上式右端的幂级数当 将函数 展成 的幂级数. 因为 上式对 也成立. 时收敛, 在 而上式左端的函数 处有定义且连续. 例2 解 所以 将函数 展开成 的幂级数. 当 时, 级数 收敛; 当 时, 级数 收敛. 且当 时, 函数 连续, 例3 解 由于 所以 将函数 且 成 的幂级数. 展开 例4 解 将函数 展开成 的幂级数. 而 所以 掌握了函数展开成麦克劳林级数的方法后, 转化成 的表达式, 把 看成变量 要把函数展开成 的幂级数时, 即得 的幂级数. 对于较复杂的 可作变量替换 于是 当 只需把 展开 的幂级数, 成 函数, 例5 解 例6 解 * *