经济数学-泰勒级数与幂级数.pptVIP

无穷级数 一、函数的泰勒级数 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 四、小结 思考题 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径? 证明 由比值审敛法, 求收敛域的基本步骤 求幂级数 收敛域的基本步骤: (1) 判别常数项级数 (2) 的收敛性; (3) 求出收敛半径 当 时, 写出幂级数的收敛域. 例2 求下列幂级数的收敛域: 解 该级数收敛; 该级数发散; 例3 解 即 所以原级数的收敛域为 求函数项级数 的收敛域. 令 原级数变为 容易求得级数 的收敛域为 解此不等式得 解 缺少偶次幂的项 级数收敛, 级数发散, 级数发散, 级数发散, 原级数的收敛域为 解 发散 收敛 故收敛域为(0,1]. 解 1.代数运算性质: (1) 加减法 (其中 (2) 乘法 (其中 柯西乘积 定理 设幂级数 的收敛半径为 则 幂级数的和函数 在其收敛域 上连续; 幂级数的和函数 在其收敛域 上可积, 在 上有逐项积分公式 并 且逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛 且逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛 幂级数的和函数 在其收敛区间 内可 并在 内有逐项求导公式 且逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛 半径; 导, 半径. 注: 反复应用结论(3)可得: 幂级数的和函数 在其 收敛区间 内具有任意阶导数. 它常用 此外, 几何级数的和函数 是幂级数求和中的一个基本的结果. 质转化为几何级数的求和问题来解决. 上述运算性质称为幂级数的分析运算性质. 于求幂级数的和函数. 许多级数求和的问题 我们所讨论的 都可以利用幂级数的运算性 幂级数经逐项求导或逐项积分后，所得之幂级数的收敛半径不变； 说明： 在收敛区间的端点处的收敛性可能改变； 若经逐项求导或逐项积分后得幂级数在某一端点处收敛，则在该点处(2)、(3)仍成立。 经 济 数 学 一、函数的泰勒级数 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 四、小结 思考题 第四节 泰勒级数与幂级数（1） 图形演示 ② 图形演示 图形演示 图形演示 数值实验 数值实验 结论 图形演示 图形演示 图形演示 图形演示 数值实验 数值实验 结论 1.函数项级数定义 设 是定义在数集 上的函数列, 称为定义在 上的函数项级数. 而 称为函数项级数 的部分和. 对 如果常数项级数 收敛, 即 表达式 存在, 则称函数项级数 在点 收敛, 称为该函数项级数的收敛点. 如果 不存在, 点 发散. 称为该函数项级数的收敛域, 而全体发散点的集合 合称为发散域. 设函数项级数 的收敛域 为 则对 内的每一点 存在, 在 则称函数项级数 全体收敛点的集合 函数项级数 记 它是 的函数, 的和函数. 称为函数项 称 为函数项级数 的余项. 对于收敛域上的 每一点 有 根据上述定义可知, 问题, 函数项级数在某区域的收敛性 是指函数项级数在该区域内任意一点的收敛 性问题, 上是常数项级数的收敛问题. 常数项级数的收敛性判别法 而函数项级数在某点 的收敛问题, 实质 这样, 我们仍可利用 来判断函数项级数的收 敛性. 例1 几何级数 就是一个函数项级数 , 根据本章第一节的讨论知: 级数收敛; 级数发散 . 此 , 发散域为 有 当 时 , 当 时 , 这个级数的收敛域是区间 在收敛域内 即几何级数 的和函数为 因 这个结果作许多问题中均有重要作用 . 幂级数系数 注: 变量代换 转化为 的形式, 以后主要针对形如 的级数展开讨论. 可通过作 所以, 对于形如 的幂级数, 二、幂级数 幂级数的收敛域 再来考察幂级数 对于给定的幂级数 显然, 当 时, 它 收敛于 这说明幂级数的收敛域总是非空的. 的收敛性. 这个级数当 时收敛于和 当 时, 它发散. 故该级数的收敛域为 这个例子表明, 幂级数 的收敛域是一个区间. 事实上, 这个结论对于一般的幂级数也是成立的. 定理1(阿贝尔定理) 如果级数 收敛, 则对于满足不等式 的一切 级 数 绝对收敛; 如果级数 发 散, 则对于满足不等式 的一切 级数 发散. 反之, 根据定理, 如果幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是 散点, 从原点出发沿负向走去的情形也是如此. 点 与 关于原点对称. 重要结论: 原点)也有发散点, 最初只遇到收敛点, 则从数轴的原点出发沿正向走去, 越过一个分界点后, 就只遇到发 这个分界点可能是收敛点, 也