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零级近似： 微扰项： 可由自由电子求出零级近似的归一化波函数和能量本征值 与一维情况类似，一级微扰能量为 一级修正的波函数和二级微扰能量分别为 其中 ＝{ 当 k’＝k＋Gn 当 k’ ? k＋Gn 当 k 离布里渊区边界较远时，由于周期场的影响而产生的各散射波成分的振幅都很小，可以看成小的微扰。但是，在布里渊区边界面上或其附近时，即当k2?(k+Gn)2时，这时相应的散射波成分的振幅变得很大，不能当作小的微扰来处理，而要用简并微扰来处理。 零级近似的波函数由相互作用强的几个态的线性组合来组成，由此可解得在布里渊区边界面上简并分裂后的能量为 需要指出的是，在三维情况下，在布里渊区边界面上的一般位置，电子的能量是二重简并的，即有两个态的相互作用强，其零级近似的波函数就由这两个态的线性组合组成；而在布里渊区边界的棱边上或顶点上，则可能出现能量多重简并的情况。对于 g 重简并，即有 g 个态的相互作用强，因而，其零级近似的波函数就需由这 g 个相互作用强的态的线性组合组成，由此解出简并分裂后的 g 个能量值。 k k1 k2 k3 k k3 k2 k1 k4 k5 k6 k7 kx ky * 6.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似 一、何谓近自由电子近似（ Nearly Free Electron ） 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较 小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子 的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是 它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。 （也称为弱周期场近似）。这个模型虽然简单，但却给出周 期场中运动电子本征态的一些最基本特点。 何谓近自由电子近似 定性描述 微扰计算 见黄昆书 4.2节 p157 晶体中的电子感受到的一维晶格周期势场 见于Omar 书p197 见于Kittel 书 p118 二. 近自由电子（NFE）模型的定性描述 在NFE 模型中，是以势场严格为零的 Schr?dinger方程的解（即电子完全是自由的）为出发点的，但必须同时满足晶体平移对称性的要求，我们称之为空格子模型。 在一维情况下，空格子模型中的态函数和能量表达式为： 上式中的 0 表示是未受微扰的解。自由电子的能量和波矢 关系是抛物线，但考虑到平移对称性的要求，它被 Brilouin 区 边界截成多段，可以平移倒易基矢 的整数倍，以便让 任意两个等效点的能量相同。 空格模型的能量波矢关系： 自由电子的 k 取值范围是没有限制的，能量取值范围也是无限制的。 晶体中的波矢 k只能在第一Brilouin区内取值。能量可以通过一个 k 值对应多个能量值来包容。 当考虑微弱的周期势场影响时，空格子能谱的明显变化 只发生在 Brilouin区区心和边界处，原先相互连接的，现在 分开了，出现了一个能隙，也就是说，在这些点上，能谱的 形状受到弱晶体势场的修正。（实际上，晶体势的作用是使 空格子模型中能带结构中的尖角变得平滑了。） 在区域的其它部分，能谱的形状受到的影响很小，基本 保持了空格子模型的抛物线形式。见下图。 所以说近自由电子近似下晶体电子的能级区分成为电子 可以占据的能带以及禁带。 弱周期势场对能带的影响： 以上参照 Omar一书整理 空格模型的能量波矢关系： Blakemore书p208-209也有类似叙述。 弱周期势场对能带的影响： 能隙 Ashcroft 一书 p160 关于一维带隙的说明 自由电子能量波矢关系 弱周期势的影响 Brillouin边界处的分裂 周期性势场： a为晶格常数 作Fourier展开： 其中 —— 势能平均值 视为常数 根据近自由电子模型，Un为微小量。 电子势能为实数，U(x)=U*(x)，得 Un*=U-n 。 三、微扰计算：考虑长度 的一维晶体 1. 非简并微扰 这里，单电子哈密顿量为： 零级近似 代表周期势场的起伏作为微扰项处理 分别对电子能量 E(k) 和波函数 ?(k) 展开 将以上各展开式代入Schr?dinger方程中，得 零级近似方程： 能量本征值： 相应的波函数： 正交归一性： 一级微扰方程： 令 代入上式 两边同左乘 并积分得 当 k’ = k 时， 当 k’ ? k 时， 由于一级微扰能量 Ek(1)＝0，所以还需用二级微扰方程来 求出二级微扰能量，方法同上。 令 代入二级微扰方程中可求得 补充：按照量子力学一般微扰理论的结果，本征值的一