行列式 真题jsp.pptVIP

第二章 行列式 一、基本概念和重要结果 1.行列式的定义 行列式有各种不同的定义方法，为了更加深刻地理解行列式的性质和学习行列式的计算方法，特别是处理一些有关行列式的证明题，我们在这里介绍行列式的三种定义，它们在不同的情况下有不同的作用。通常第一种定义法更为常用。但第二种和第三种定义在某些证明题中有意义。 设A是一个n级方阵，A的行列式通常用|A|表示。 (1) 我们用(s1s2…sn)表示数码1,2,…,n的任一排列，用? (s1 s2 … sn)表示排列的逆序数，则n级行列式定义如下： (2) 行列式的归纳定义： 一阶行列式: |a11|=a11. 二阶行列式： 若n-1阶行列式已经定义，则n阶行列式 其中A1i是元素a1i的代数余子式。 (3) 一个n阶行列式可以看为n2个数的函数，或者看为n个向量的函数。例如将行列式中第i列用xi表示，则定义(1)中的行列式就可记为f(x1,x2,…,xn)。因此一个行列式可以看为n2个数的函数，它满足下面的三个条件： a. f(x1,x2,…,kxi,…,xn) =kf(x1,x2,…,xn) b. f(x1,x2,…,xi+yi,…,xn) =f(x1,x2,…,xi…,xn) +f(x1,x2,…,yi…,xn) c. f(x1,x2,…,xi,…,xj,…,xn) =-f(x1,x2,…,xj,…,xi,…,xn) 为方便计，有时我们也用|aij|n×n表示n阶行列式，或简记为|aij|. 2. 行列式的性质： (1)行列式与其转置行列式相等，即 把行列式 D的行列互换所得新行列式叫做 D的转置行列式，记作 DT. 性质 1 即为 D = DT. (2) =k|A| (3) (4) (5) (6) (7) (8)|A|=M1A1+M2A2+…+MtAt,M1,M2,…,Mt是|A|中某k行元素的k阶子式，Ai是Mi的代数余子式。 (9)若aij=-aji，n为奇数，则|A|=0. (10) 3. 行列式的计算： (1) 提公因式法 例 计算： 其中： 解：D的第一行有公因子a00，从第一行提出公因子a00，将第一行的-a11倍加到第二行，从第二行提出公因子a10，将第一行乘-a22，第二行乘-a21，一起加到第三行，从第三行提出a20，依次作下去，最后将第一行、第二行、…、第n-1行分别乘以 -an-1n-1,-an-1n-2,…,an-11，一起加到第n行，从第n行提出公因子an-10得 □ (2) 消去变换法 例 计算： 解：从第二行开始每行乘-1加到前一行，然后令右下角的1=x+(1-x)，将行列式表为两个行列式之和，得： (1-x)n+(-1)n-1xn=(-1)n[(x-1)n-xn] □ (第二个行列式的每列减去最后一列) (3) 降阶递推法 1) 若Dn=pDn-1，则Dn=pn-1D1. 注意由(1)和(2)得： 若Dn=pDn-1+qDn-2，n2，q≠0，我们可以设 , 是x2-px-q=0的根， 则: 于是有： ,则 若 若 则(1)与(2)变为： 即： 于是： 依次作下去得： 例 计算： （三对角线行列式） 解：Dn=cDn-1-baDn-2，设 是x2-cx-ba=0的根，则: 若c2-4ab≠0, 则 ，于是： 易算得： 所以： 则 若c2=4ab， □ (4) 分离线性因子法：把行列式看成含其中的一个或多个字母的多项式，变换它，若发现它可被一些线性因子所整除且这些线性因子互质，则它可被这些因子的积整除。 例 计算： 解：令f(x)=D，易见对i=1,2,…,n-1，f(i)=0，即(x-1),…,(x-n+1)是f(x)的因子且它们互质，故 是f(x)的因子，比较xn-1的系数知 □ (5) 分解行列式法：若行列式的某行（列）是两行（列）的和，将行列式分解为两个行列式的和。 解：将行列式Dn分解为若干行列式的和，易见当n2时，每个行列式至少有两列成比例，故Dn=0，当n=2时，直接计算得： 当n=1时，D1=1+a1x1 □ 例 计算： (6) 变换元素法： 令： Aij是aij的代数余子式 不难证明， 例 计算： 解：从Dn的每个元素减去x得： 于是 □