浅谈一阶线性微分方程组的一般理论知识及解法.doc

浅谈一阶线性微分方程组的一般理论知识及解法 王焕 赤峰学院数学学院，赤峰024000 摘要：一阶线性微分方程组是一类特殊的微分方程组。这类微分方程组的理论研究结果比较完整，而且它们在实际和理论问题中都占有很重要的位置。然而，在很多实际和理论问题中，常要求我们去求解多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。那么，首先让我们谈一谈它的基本理论知识，从两个方面进行阐述，第一个方面是一阶线性齐次方程组及一阶线性非齐次方程组，第二个方面是常系数线性微分方程组；然后再从三个方面简要的叙述它解的求法，其中，着重强调常数变易法。 关键词：一阶线性微分方程组 一阶线性齐次方程组 一阶线性非齐次方程组 常数变易法 一阶线性微分方程组的基本理论知识 一、定义 1.一阶线性微分方程组： 含有n个未知函数的一阶微分方程组的一般形式为： 若函数关于是线性的，即 （1） 则称上式（1）为一阶线性微分方程组。 我们总假设它的系数在某个区间上连续。 一般，我们将（1）式写为向量形式： （2） 其中， ， ， 我们一般用上述（1）或（2）来描述一阶线性微分方程。 一阶线性齐次方程组： 若在I上，，方程组（2）式即变为 （3） 称为一阶线性齐次方程组。 一阶线性非齐次方程组： 若在I上，方程组（2）式即变为，（） （4） 称为一阶线性非齐次方程组。 以上三种方程组的解形式及方法 一阶线性微分方程： （其基本思路即将n阶微分方程转化为1阶微分方程组进而求解） 令则 求出A(x)及Y，进而求解。 一阶线性齐次方程组： 通解形式为： 是线性无关解。其中， 是方程组的m个解，是任意常数。 一阶线性非齐次方程组：，（） 通解形式为；其中，是线性非齐次方程的一个特解；是线性齐次方程组的通解。 通过上述一阶线性齐次方程组的求解方法求出其通解； 求一阶线性非齐次方程组的特解： ①令为（4）的一个特解， 则。 ②因 积分得：的值； ③回代，进而求出其特解。 ④该方程组的解即为。 常系数线性微分方程组： （4.1） 齐次方程组 （5） 其中，A是m×n实常数矩阵。 解题步骤： 特征根为单根 写出系数矩阵A 写出特征方程 求出特征根 写出特征根所对应的线性无关的特征向量T 则该方程的通解为 特征根为重根 （1）写出系数矩阵A （2）写出特征方程 （3）求出特征根， （4.2） 非齐次方程组 （6）